[论文解读] Stability of stochastic differential equations with respect to time-changed Brownian motions

Qiong Wu|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文通过广义李雅普诺夫方法与对偶理论，建立了由时间改变布朗运动驱动的随机微分方程（SDEs）的稳定性准则。在漂移、扩散和时间改变满足特定条件时，证明了随机稳定性、渐近稳定性和全局渐近稳定性，其关键结果通过对应性将时间改变SDE的稳定性与非时间改变版本的稳定性联系起来。

ABSTRACT

In this paper, the stability behaviors of stochastic differential equations (SDEs) driven by time-changed Brownian motions are discussed. Based on the generalized Lyapunov method and stochastic analysis, necessary conditions are provided for solutions of time-changed SDEs to be stable in differential senses, such as stochastic stability, stochastically asymptotic stability and globally stochastically asymptotic stability. Also, a connection between the stability of the solution to the time-changed SDEs and that to their corresponding non-time-changed SDEs is revealed by applying the duality theorem. Finally, two examples are provided to illustrate the theoretical results.

研究动机与目标

• 分析由时间改变布朗运动驱动的随机微分方程（SDEs）解的稳定性。
• 将经典李雅普诺夫稳定性理论扩展至由逆子可加器诱导的非马氏时间改变的SDEs。
• 利用对偶定理建立时间改变SDEs与其对应非时间改变SDEs之间稳定性关系。
• 在时间改变设定下，提供随机稳定性、随机渐近稳定性及全局随机渐近稳定性的充分条件。
• 通过两个涉及时间改变动力学与李雅普诺夫函数的具体例子，说明理论结果。

提出的方法

• 应用时间改变伊藤公式，推导由时间改变布朗运动 $ B_{E_t} $ 驱动的SDE的无穷小生成元，其中 $ E_t $ 为 $ \beta $-稳定子可加器的逆。
• 通过定义李雅普诺夫函数 $ V(t_1, t_2, x) = |x|^\alpha $（$ \alpha \in (0,1) $），将经典SDEs的李雅普诺夫函数方法推广至时间改变SDEs。
• 利用对偶定理将时间改变SDEs的稳定性与标准SDEs的稳定性关联，实现已知稳定性结果的转移。
• 定义时间改变SDEs的无穷小生成元 $ L_1V $ 和 $ L_2V $，以分析李雅普诺夫函数演化中漂移项与扩散项的符号。
• 应用时间改变变量替换公式 $ \int_0^t \phi(E_s) dE_s = \int_0^{E_t} \phi(s) ds $，将时间改变积分条件转化为标准形式。
• 通过验证在 $ \rho_1, f_1, g_1 $ 满足特定条件时，生成元 $ L_2V $ 在原点邻域内为负定，从而确认稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 $ B_{E_t} $ 驱动的时间改变SDE的平凡解在何种条件下是随机稳定的？
• RQ2 时间改变SDE的解在何种条件下是随机渐近稳定的？何种条件可确保全局渐近稳定性？
• RQ3 时间改变SDE的稳定性与对应非时间改变SDE的稳定性有何关系？
• RQ4 对偶定理是否可用于将标准SDEs的稳定性结果转移至时间改变SDEs？
• RQ5 逆 $ \beta $-稳定子可加器在改变SDEs稳定性行为方面，相较于标准布朗运动起到何种作用？

主要发现

• 当 $ \rho_1(t,E_t) \geq 0 $ 且 $ \frac{1}{2}(1-\alpha)g^2(t,E_t) - f_1(t,E_t) \geq 0 $ 几乎必然成立时，时间改变SDE $ dX(t) = -\rho_1(t,E_t)X(t)dt + f_1(t,E_t)X(t)dE_t + g_1(t,E_t)X(t)dB_{E_t} $ 的平凡解是随机稳定的。
• 若至少一个稳定性条件严格成立，则平凡解为全局随机渐近稳定。
• 对偶定理建立了时间改变SDEs与其非时间改变对应物之间稳定性关系的直接联系，实现了稳定性结果的转移。
• 对于非时间改变SDE $ dY(t) = f(t,X(t))dt + g(t,X(t))dB_t $，在条件（42）和（43）成立时，其具有随机渐近稳定性，且该结果可通过时间改变李雅普诺夫函数推广至时间改变版本。
• 时间改变李雅普诺夫函数 $ V(E_t, x) = |x|^\alpha \exp\left(-\alpha \int_0^{E_t} (a(s) - \frac{1}{2}b^2(s) + \theta) ds \right) $ 在条件（44）下确保生成元 $ L_2V $ 为负定，从而确认了渐近稳定性。
• 条件 $ 0 < \alpha < \frac{\theta}{\sup_{t \geq 0} b^2(t)} $ 确保 $ L_2V $ 为负定，这是在时间改变设定下证明渐近稳定性的关键。