[论文解读] Stabilization Control for Linear Continuous-time Mean-field Systems

Qingyuan Qi, Huanshui Zhang|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2016

Advanced Control Systems Optimization参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文通过耦合代数Riccati方程（ARE）建立了线性连续时间均值场系统均方稳定性的必要且充分条件。通过利用最大值原理并求解前向-后向随机微分方程（FBSDE），作者推导出最优控制的可解性条件，并证明系统稳定当且仅当耦合ARE存在唯一非负定（或在精确可观察性下为正定）解，将经典LQ控制理论扩展至均值场设置，且对加权矩阵的假设更弱。

ABSTRACT

This paper investigates the stabilization and control problems for linear continuous-time mean-field systems (MFS). Under standard assumptions, necessary and sufficient conditions to stabilize the mean-field systems in the mean square sense are explored for the first time. It is shown that, under the assumption of exact detectability (exact observability), the mean-field system is stabilizable if and only if a coupled algebraic Riccati equation (ARE) admits a unique positive semi-definite solution (positive definite solution), which coincides with the classical stabilization results for standard deterministic systems and stochastic systems. One of the key techniques in the paper is the obtained solution to the forward and backward stochastic differential equation (FBSDE) associated with the maximum principle for an optimal control problem. Actually, with the analytical FBSDE solution, a necessary and sufficient solvability condition of the optimal control, under mild conditions, is derived. Accordingly, the stabilization condition is presented by defining an Lyaponuv functional via the solution to the FBSDE and the optimal cost function. It is worth of pointing out that the presented results are different from the previous works for stabilization and also different from the works on optimal control.

研究动机与目标

• 解决均值场系统缺乏系统化稳定理论的问题，该问题相较于最优控制研究仍处于被忽视状态。
• 在标准假设下，建立线性连续时间均值场系统均方稳定的必要且充分条件。
• 将基于Riccati方程的经典稳定化结果推广至均值场背景，其中系统动态依赖于状态及其期望值。
• 通过FBSDE解与李雅普诺夫函数，提供一个统一框架，连接最优控制可解性与稳定化。
• 放宽成本函数中对正定加权矩阵的要求，允许使用半正定矩阵。

提出的方法

• 应用最大值原理推导最优控制律，从而得到由关联前向-后向随机微分方程（FBSDE）解导出的耦合Riccati方程。
• 通过有限时域Riccati方程的收敛性分析，推导出无限时域的耦合代数Riccati方程（ARE）以实现稳定化。
• 基于最优成本函数与FBSDE解构造李雅普诺夫泛函，以分析均方稳定性。
• 建立稳定化与耦合ARE存在唯一非负定（或在精确可观察性下为正定）解之间的等价性。
• 利用精确可检测性与精确可观察性的概念，将系统稳定性与ARE可解性相联系。
• 通过证明控制能量在无限时间内的可积性，验证最优控制器属于允许控制空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，线性连续时间均值场系统是均方可稳定化的？
• RQ2 能否通过耦合代数Riccati方程求解无限时域均值场系统的最优控制问题？
• RQ3 耦合ARE的可解性如何与均值场系统的稳定化相关联？
• RQ4 精确可检测性与精确可观察性在通过ARE解确保稳定化中起什么作用？
• RQ5 在保持稳定化与最优性的同时，能否将成本函数中的加权矩阵从正定放宽至半正定？

主要发现

• 在精确可检测性假设下，均值场系统均方可稳定化当且仅当耦合代数Riccati方程存在唯一非负定解。
• 在精确可观察性下，系统可稳定化当且仅当耦合ARE存在唯一正定解。
• 所提出的控制器由ARE解导出，可确保状态与控制输入在无限时间内平方可积，即控制属于允许空间U[0, ∞)。
• 通过基于最优成本函数与FBSDE解构造的李雅普诺夫泛函，论文验证了闭环系统的均方稳定性。
• 结果将经典LQ控制理论推广至均值场系统，包括稳定化与可解性条件。
• 本文弱化了标准假设中要求加权矩阵R与R + R̄为正定的条件，允许其为半正定，从而扩大了理论的应用范围。