[论文解读] Stabilized CutFEM for the Convection Problem on Surfaces

Erik Burman, Peter Hansbo+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文提出了一种稳定化的剪切有限元方法（CutFEM），用于在背景四面体网格上使用连续分段线性有限元对曲面上的对流问题进行求解。该方法在完整单元面上采用梯度跃迁稳定化，以确保离散稳定性及线性系统的代数稳定性，实现了能量范数下最优的 $h^{3/2}$ 收敛率，以及 $L^2$ 范数下全梯度的 $h^{3/4}$ 收敛率，且条件数有界于 $h^{-2}$。该方法将标准有限元分析扩展至非拟合的剪切网格，无需表面拟合三角剖分。

ABSTRACT

We develop a stabilized cut finite element method for the convection problem on a surface based on continuous piecewise linear approximation and gradient jump stabilization terms. The discrete piecewise linear surface cuts through a background mesh consisting of tetrahedra in an arbitrary way and the finite element space consists of piecewise linear continuous functions defined on the background mesh. The variational form involves integrals on the surface and the gradient jump stabilization term is defined on the full faces of the tetrahedra. The stabilization term serves two purposes: first the method is stabilized and secondly the resulting linear system of equations is algebraically stable. We establish stability results that are analogous to the standard meshed flat case and prove $h^{3/2}$ order convergence in the natural norm associated with the method and that the full gradient enjoys $h^{3/4}$ order of convergence in $L^2$. We also show that the condition number of the stiffness matrix is bounded by $h^{-2}$. Finally, our results are verified by numerical examples.

研究动机与目标

• 开发一种针对曲面上对流问题的稳定且收敛的有限元方法，无需使用体拟合网格。
• 将标准有限元的稳定性和收敛性理论扩展至非拟合、任意背景网格上的剪切有限元方法。
• 确保离散公式所产生的线性系统的代数稳定性。
• 即使在剪切网格上，也实现能量范数和全梯度的最优收敛率。
• 通过在环面曲面上的数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 该方法在 $\mathbb{R}^3$ 中的背景四面体网格上定义连续分段线性有限元空间，曲面以水平集形式嵌入其中。
• 变分公式仅涉及曲面积分，解函数与试函数均限制在离散曲面 $\Gamma_h$ 上。
• 在背景四面体的完整面上添加梯度跃迁稳定化项，以稳定方法并确保代数稳定性。
• 稳定化参数 $c_F$ 的选择需在一致性和稳定性之间取得平衡，数值实验中采用 $c_F = 10^{-2}$。
• 该方法采用最近点延拓来定义曲面微分算子，并利用提升技术将离散函数与连续函数关联。
• 分析依赖于覆盖论证以局部化稳定性估计，将具有有界复杂度的单元簇分别处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够通过稳定化的CutFEM在不使用表面拟合网格的情况下，实现曲面上对流问题的最优收敛率？
• RQ2 在剪切有限元设置中，对完整单元面采用梯度跃迁稳定化是否能同时保证离散稳定性和代数稳定性？
• RQ3 该方法在能量范数和 $L^2$ 范数下全梯度的收敛阶是多少？
• RQ4 刚度矩阵的条件数如何随网格尺寸 $h$ 变化？
• RQ5 能否使用类似的稳定性机制，将标准有限元的分析扩展至非拟合、剪切网格？

主要发现

• 该方法在能量范数下实现了最优的 $h^{3/2}$ 收敛率，与在拟合网格上使用标准有限元方法的结果一致。
• 全梯度在 $L^2$ 范数下的误差以 $h^{3/4}$ 的速率收敛，优于三角形上的流线扩散法。
• 刚度矩阵的条件数有界于 $h^{-2}$，确保了线性系统的良好条件性。
• 稳定化项确保了自然能量范数下的离散稳定性，从而能够推导出最优的先验误差估计。
• 数值实验验证了理论收敛率在 $L^2$ 范数、能量范数和梯度误差上的表现。
• 条件数研究显示渐近 $h^{-2}$ 缩放特性，但在粗网格及较大稳定化参数下出现偏差。