[论文解读] Stabilizer Circuits, Quadratic Forms, and Computing Matrix Rank

Chaowen Guan, Kenneth W. Regan|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 35被引用 5

一句话总结

本文提出了一种在 $O(s + n^\omega)$ 时间内对 $n$-量子比特稳定子电路进行强模拟的算法，其中 $s$ 为电路规模，$\omega$ 为矩阵乘法指数。该工作建立了在 $\mathbb{F}_2$ 上计算矩阵秩与计算概率 $p = |\langle 0^n|C|0^n \rangle|^2$ 之间的线性时间等价性，改进了先前的 $O(n^3)$ 上界，并将量子稳定子电路与 $\mathbb{Z}_4$ 上的经典二次型联系起来。核心成果是量子模拟与矩阵秩之间近乎紧致的联系，对高效经典模拟稳定子电路及二次型解计数具有重要意义。

ABSTRACT

We show that a form of strong simulation for $n$-qubit quantum stabilizer circuits $C$ is computable in $O(s + n^ω)$ time, where $ω$ is the exponent of matrix multiplication. Solution counting for quadratic forms over $\mathbb{F}_2$ is also placed into $O(n^ω)$ time. This improves previous $O(n^3)$ bounds. Our methods in fact show an $O(n^2)$-time reduction from matrix rank over $\mathbb{F}_2$ to computing $p = |\langle \; 0^n \;|\; C \;|\; 0^n \; angle|^2$ (hence also to solution counting) and a converse reduction that is $O(s + n^2)$ except for matrix multiplications used to decide whether $p > 0$. The current best-known worst-case time for matrix rank is $O(n^ω)$ over $\mathbb{F}_2$, indeed over any field, while $ω$ is currently upper-bounded by $2.3728\dots$ Our methods draw on properties of classical quadratic forms over $\mathbb{Z}_4$. We study possible distributions of Feynman paths in the circuits and prove that the differences in $+1$ vs. $-1$ counts and $+i$ vs. $-i$ counts are always $0$ or a power of $2$. Further properties of quantum graph states and connections to graph theory are discussed.

研究动机与目标

• 将 $n$-量子比特稳定子电路强模拟的渐近时间复杂度提升至优于先前的 $O(n^3)$ 上界。
• 在稳定子电路中建立 $\mathbb{F}_2$ 上矩阵秩与振幅概率 $|\langle 0^n|C|0^n \rangle|^2$ 之间的紧密计算等价性。
• 将 $\mathbb{F}_2$ 上二次型的解计数时间复杂度提升至 $O(n^\omega)$，优于 [EK90] 中的 $O(n^3)$ 上界。
• 形式化量子稳定子电路、图态与 $\mathbb{Z}_4$ 上经典二次型之间的联系，实现高效的归约。

提出的方法

• 通过基于输入矩阵导出的对称分块矩阵构造的量子图态，将 $\mathbb{F}_2$ 上的矩阵秩计算归约为计算概率 $p = |\langle 0^n|C|0^n \rangle|^2$。
• 将任意 $n$-量子比特稳定子电路 $C$ 转换为 $\mathbb{Z}_4$ 上的经典二次型 $q_C$，以保持所有量子振幅与性质不变。
• 在与 $q_C$ 关联的矩阵上应用 $\mathbb{F}_2$ 上的规范分解 $\mathbf{B} = \mathbf{P}\mathbf{L}\mathbf{D}\mathbf{L}^T\mathbf{P}^T$，实现高效秩与振幅计算。
• 利用基于 $\mathbb{Z}_4$ 的矩阵运算计算 $\mathbf{D}' = \mathbf{L}^{-1}\mathbf{P}^T\mathbf{A}\mathbf{P}(\mathbf{L}^{-1})^T$，通过检查是否存在值为 2 的元素来判断振幅是否为零。
• 利用费曼路径积分中 $+1$ 与 $-1$、$+i$ 与 $-i$ 路径计数差异恒为 0 或 2 的幂次这一事实，实现高效的振幅评估。
• 利用 [AG04] 的规范型，对 Hadamard 门数 $h$ 与门数 $s$ 进行有界，从而实现 $O(s + h^\omega)$ 的运行时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能以 $O(s + n^\omega)$ 时间完成稳定子电路的强模拟，优于 $O(n^3)$ 上界？
• RQ2 在 $h = \Theta(n)$ 且 $s = O(n^2)$ 的稳定子电路中，$\mathbb{F}_2$ 上矩阵秩的计算是否与 $p = |\langle 0^n|C|0^n \rangle|^2$ 的计算线性时间等价？
• RQ3 能否通过量子电路归约将 $\mathbb{F}_2$ 上二次型的解计数加速至 $O(n^\omega)$ 时间？
• RQ4 稳定子电路及其在 $\mathbb{Z}_4$ 上的相位多项式结构，是否能实现对振幅与概率计算的更紧致界？
• RQ5 能否通过输出概率分布或振幅模长来测试两个稳定子电路的等价性？

主要发现

• 具有 $s$ 个门和 $h$ 个 Hadamard 门的 $n$-量子比特稳定子电路的强模拟可在 $O(s + h^\omega)$ 时间内完成，其中 $\omega < 2.3729$，优于先前的 $O(n^3)$ 上界。
• 在 $p > 0$ 的前提下，$\mathbb{F}_2$ 上的矩阵秩与 $p = |\langle 0^n|C|0^n \rangle|^2$ 的计算线性时间等价，且该等价性在限制为二分图时依然成立。
• $\mathbb{F}_2$ 上二次型的解计数可在 $O(n^\omega)$ 时间内求解，优于 [EK90] 中的 $O(n^3)$ 上界。
• 振幅 $\langle 0^n|C|0^n \rangle$ 为零，当且仅当在 $\mathbb{Z}_4$ 变换后的矩阵 $\mathbf{D}'$ 中出现值为 2 的元素，该检查可高效完成。
• 费曼路径积分中 $+1$ 与 $-1$、$+i$ 与 $-i$ 路径计数的差异恒为 0 或 2 的幂次，从而实现高效的振幅评估。
• 从矩阵秩到 $p$ 的归约对稠密矩阵为线性时间，而反向归约的时间复杂度为 $O(s + n^2)$，仅需额外的矩阵乘法用于测试 $p > 0$。