[论文解读] Stabilizing discrete empirical interpolation via randomized and deterministic oversampling

Benjamin Peherstorfer, Zlatko Drmač+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 36被引用 14

一句话总结

本文提出了一种随机和确定性过采样技术，以在噪声条件下稳定非线性模型降阶中的经验插值。通过利用概率分析和与k均值聚类相关的特征向量采样策略，该方法提高了对高斯噪声和数值不准确性的鲁棒性，已在合成问题和扩散-反应问题上得到验证。

ABSTRACT

This work investigates randomized and deterministic oversampling in (discrete) empirical interpolation for nonlinear model reduction. Empirical interpolation derives approximations of nonlinear terms from a few samples via interpolation in low-dimensional spaces. It has been demonstrated that empirical interpolation can become unstable if the samples from the nonlinear terms are perturbed due to, e.g., noise, turbulence, and numerical inaccuracies. Our probabilistic analysis shows that randomized oversampling stabilizes empirical interpolation in the presence of Gaussian noise. Furthermore, we present deterministic oversampling strategies that select points by descending in directions of eigenvectors corresponding to sampling point updates and by establishing connections between sampling point selection and k-means clustering. Our numerical results demonstrate on synthetic and diffusion-reaction problems that randomized and deterministic oversampling with our approach stabilizes empirical interpolation in the presence of noise.

研究动机与目标

• 解决非线性项样本受噪声、湍流或数值误差扰动时经验插值的不稳定性问题。
• 研究采样扰动对降阶建模中离散经验插值稳定性的影响。
• 开发在噪声存在下保持精度和稳定性的鲁棒采样策略。
• 建立采样点选择与k均值聚类之间的理论和数值联系，以改善点的分布。
• 证明随机和确定性过采样在多种测试问题中稳定经验插值的有效性。

提出的方法

• 应用概率分析，证明随机过采样可在高斯噪声下稳定经验插值。
• 提出基于采样点更新矩阵特征向量的确定性过采样策略。
• 将采样点选择建模为与k均值聚类对齐的优化问题，以改善空间分布。
• 将过采样集成到经验插值框架中，以降低条件数并提高数值稳定性。
• 使用低维插值空间近似非线性项，同时最小化对输入扰动的敏感性。
• 结合随机和确定性策略，以增强在合成和真实世界PDE问题中的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 高斯噪声如何影响非线性模型降阶中经验插值的稳定性？
• RQ2 随机过采样是否能有效稳定噪声采样条件下的经验插值？
• RQ3 基于特征向量和聚类的确定性采样策略如何提升插值稳定性？
• RQ4 不同过采样技术在各类非线性问题中的性能和鲁棒性如何比较？
• RQ5 过采样在多大程度上降低了插值矩阵的条件数并提升了精度？

主要发现

• 随机过采样通过概率分析证实可在高斯噪声下稳定经验插值。
• 基于采样更新特征向量的确定性过采样策略提高了插值稳定性并降低了对扰动的敏感性。
• 所提出的确定性策略建立了采样点选择与k均值聚类之间的直接联系，增强了空间分布。
• 在合成问题和扩散-反应问题上的数值实验表明，两种过采样方法均减少了不稳定性并提高了精度。
• 该方法有效缓解了插值矩阵条件数的增长，从而得到更可靠的降阶模型。
• 随机与确定性过采样相结合，在不同噪声水平和问题配置下均表现出鲁棒性能。