[论文解读] Stable Cohomotopy Seiberg-Witten Invariants of Connected Sums of Four-Manifolds with Positive First Betti Number

Masashi Ishida, Hirofumi Sasahira|ArXiv.org|Apr 22, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 55被引用 8

一句话总结

本文在第一贝蒂数为正的4-流形的连通和中建立了稳定同伦群Seiberg-Witten不变量的新非零定理，将Bauer的结果从$b_1 = 0$的情形推广至$b_1 > 0$的情形。关键贡献在于证明了当$b_1 \neq 0$、$b^+ \geq 2$且模2意义下Seiberg-Witten不变量为奇数时，几乎复4-流形的连通和的不变量非零，从而对$\ell = 2$的情形证实了该猜想，并构造出具有非零单纯体积和非平凡微分结构的4-流形的新例子。

ABSTRACT

We shall prove a new non-vanishing theorem for the stable cohomotopy Seiberg-Witten invariant of connected sums of 4-manifolds with positive first Betti number. The non-vanishing theorem enables us to find many new examples of 4-manifolds with non-trivial stable cohomotopy Seiberg-Witten invariants and it also gives a partial, but strong affirmative answer to a conjecture concerning non-vanishing of the invariant. Various new applications of the non-vanishing theorem are also given. For example, we shall introduce variants $\barλ_k$ of Perelman's $\barλ$ invariants for real numbers $k$ and compute the values for a large class of 4-manifolds including connected sums of certain K{ä}hler surfaces. The non-vanishing theorem is also used to construct the first examples of 4-manifolds with non-zero simplicial volume and satisfying the strict Gromov-Hitchin-Thorpe inequality, but admitting infinitely many distinct smooth structures for which no compatible Einstein metric exists. Moreover, we are able to prove a new result on the existence of exotic smooth structures.

研究动机与目标

• 将Bauer关于稳定同伦群Seiberg-Witten不变量的非零定理从$b_1 = 0$的4-流形情形推广至第一贝蒂数为正的4-流形情形。
• 为文献[79]中的猜想2在$\ell = 2$个连通和分量的情形下提供强有力的肯定回答。
• 构造具有非零单纯体积且拥有无穷多个不同微分结构的4-流形的新例子，且这些流形不具有兼容的爱因斯坦度量。
• 在包括Kähler曲面连通和在内的大类4-流形中，计算实数$k$对应的Perelman的$\overline{\lambda}$-不变量的变体。
• 通过非零不变量建立关于微分结构的新型存在性结果。

提出的方法

• 通过Seiberg-Witten映射的有限维逼近，定义$S^1$-等变稳定同伦群$\pi^{b^+}_{S^1,\mathcal{B}}(\mathrm{Pic}^0(X), \mathrm{ind}D)$中的稳定同伦群Seiberg-Witten不变量$BF_X$。
• 使用自旋cobordism Seiberg-Witten不变量作为关键工具，以在连通和情形下建立非平凡性。
• 证明当$4$-流形满足$b^+ \equiv 3 \pmod{4}$、$b_1 \neq 0$且$SW \equiv 1 \pmod{2}$时，自旋cobordism不变量非零。
• 建立$BF_X$、自旋cobordism不变量$\widehat{SW}^{\mathrm{spin}}_X$与标准Seiberg-Witten不变量$SW_X$之间的交换图。
• 应用非零定理以计算新的微分几何不变量，包括Perelman的$\mathcal{F}$-泛函的变体及$\overline{\lambda}_k$-不变量。
• 利用非零不变量构造具有非零单纯体积且拥有无穷多个不同微分结构的4-流形，且这些流形不具有爱因斯坦度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于第一贝蒂数大于零的4-流形连通和，稳定同伦群Seiberg-Witten不变量是否仍保持非零？
• RQ2 文献[79]中的猜想2是否可对$b_1 \neq 0$的4-流形的$\ell = 2$个连通和分量情形得到证明？
• RQ3 非零定理是否可用于构造具有非零单纯体积且拥有无穷多个不同微分结构、但无兼容爱因斯坦度量的4-流形？
• RQ4 对于Kähler曲面及其它满足$b_1 \neq 0$的4-流形的连通和，$\overline{\lambda}_k$-不变量的取值为何？
• RQ5 当自旋cobordism不变量为零时，是否存在一种新方法用于检测连通和中$\ell \geq 4$情形下稳定同伦群Seiberg-Witten不变量的非零性？

主要发现

• 对于连通和$X = X_1 \# X_2$，其中每个$X_i$为满足$b_1(X_i) \neq 0$、$b^+(X_i) \equiv 3 \pmod{4}$且$SW_{X_i}(\Gamma_{X_i}) \equiv 1 \pmod{2}$的几乎复4-流形，稳定同伦群Seiberg-Witten不变量$BF_X$非零，从而证明了$\ell = 2$情形下的猜想。
• 本文构造了首个具有非零单纯体积且拥有无穷多个不同微分结构的4-流形例子，且这些流形均不具有兼容的爱因斯坦度量。
• 利用非零定理，计算了包括Kähler曲面连通和在内的大类4-流形的$\overline{\lambda}_k$-不变量。
• 非零定理使得能够计算Perelman的$\mathcal{F}$-泛函的变体，并通过单极子类提供曲率估计。
• 该方法在$\ell \geq 4$个连通和分量时失效，因为自旋cobordism Seiberg-Witten不变量为零，表明需要新的方法。
• 本文提供了满足$b^+ \geq 2$、$b_1 \neq 0$、$SW \equiv 1 \pmod{2}$且满足所有必要条件的几乎复4-流形的显式例子，如奇数$g,h$的$\Sigma_g \times \Sigma_h$和初等Kodaira曲面。