[论文解读] Stable nearly self-similar blowup of the 2D Boussinesq and 3D Euler equations with smooth data II: Rigorous Numerics

Jiajie Chen, Thomas Y. Hou|arXiv (Cornell University)|May 9, 2023

Navier-Stokes equation solutions被引用 4

一句话总结

本文通过计算机辅助严格数值方法，严格验证了二维Boussinesq方程和三维轴对称Euler方程在光滑初值下近似自相似爆破解型的稳定性，确认了稳定性常数满足所需的不等式。该工作完成了第一部分中建立的解析框架下有限时间奇性形成的证明，验证了关于涡量拉伸引发爆破的长期猜想。

ABSTRACT

This is Part II of our paper in which we prove finite time blowup of the 2D Boussinesq and 3D axisymmetric Euler equations with smooth initial data of finite energy and boundary. In Part I of our paper [ChenHou2023a], we establish an analytic framework to prove stability of an approximate self-similar blowup profile by a combination of a weighted $L^\infty$ norm and a weighted $C^{1/2}$ norm. Under the assumption that the stability constants, which depend on the approximate steady state, satisfy certain inequalities stated in our stability lemma, we prove stable nearly self-similar blowup of the 2D Boussinesq and 3D Euler equations with smooth initial data and boundary. In Part II of our paper, we provide sharp stability estimates of the linearized operator by constructing space-time solutions with rigorous error control. We also obtain sharp estimates of the velocity in the regular case using computer assistance. These results enable us to verify that the stability constants obtained in Part I [ChenHou2023a] indeed satisfy the inequalities in our stability lemma. This completes the analysis of the finite time singularity of the axisymmetric Euler equations with smooth initial data and boundary.

研究动机与目标

• 在第一部分建立的解析框架基础上，完成二维Boussinesq方程和三维轴对称Euler方程在光滑初值与边界条件下的有限时间爆破证明。
• 验证第一部分中稳定性引理的稳定性常数满足所需不等式，从而确认近似自相似爆破解型的稳定性。
• 使用计算机辅助方法，对正则情形下的线性化算子和速度场提供精确、严格的估计。
• 通过在时空解中建立严格的误差控制，填补分析中的空白，实现对稳定性条件的数值验证。

提出的方法

• 利用区间算法和验证数值方法，构建具有严格误差控制的线性化算子时空解。
• 应用加权$L^\infty$和$C^{1/2}$范数框架，分析近似自相似解型周围的扰动。
• 将扰动分解为主分量和耦合分量（$\widetilde{W}_1$和$\widetilde{W}_2$），以分离由主导算子$\mathcal{L}_0$控制的主导动力学。
• 利用分段导数界和插值估计，控制离散网格上解的霍尔德型正则性。
• 通过计算机辅助证明验证精确的稳定性估计，包括利用线性插值和柯西-施瓦茨不等式对$|f(x) - f(z)| / |x - z|^{1/2}$进行边界估计。
• 采用有限秩扰动分解$\mathcal{L} = \mathcal{L}_0 + \mathcal{K}$，将主导动力学与低阶修正项分离。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维Boussinesq方程和三维Euler方程中，由近似稳态导出的稳定性常数是否满足实现稳定近似自相似爆破所需的不等式？
• RQ2 在存在非局部涡量拉伸的情况下，严格的数值方法能否验证线性化算子稳定性估计的精确性？
• RQ3 在加权$L^\infty$和$C^{1/2}$范数下，近似自相似爆破解型对初始数据的小扰动是否具有鲁棒性？
• RQ4 计算机辅助技术能否为正则情形下的速度场和扰动动力学提供经验证的误差界？
• RQ5 动态重标度形式化是否允许对光滑初值下有限时间奇性形成的完整验证？

主要发现

• 通过计算机辅助数值方法，严格验证了第一部分中稳定性引理的稳定性常数满足所需不等式。
• 利用具有受控误差界的空间-时间解，获得了线性化算子的精确、经验证的估计。
• 在正则情形下，对速度场实现了具有严格误差控制的估计，证实了爆破框架的一致性。
• 确认了二维Boussinesq方程和三维轴对称Euler方程的近似自相似爆破解型在指定范数下对小扰动具有稳定性。
• 该分析完成了对二维Boussinesq方程和三维轴对称Euler方程在光滑初值与有限能量条件下有限时间奇性形成的完整证明。
• 研究结果验证了Luo-Hou的数值证据，并为三维Euler流中由涡量拉伸引发的爆破建立了严格的分析基础。