[论文解读] Stable Phase Retrieval from Locally Stable and Conditionally Connected Measurements

Cheng Cheng, Ingrid Daubechies+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2020

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文提出了一种局部稳定且有条件连接的（LSCC）测量框架，用于有限维与无限维 Banach 空间中的相位恢复，通过切赫常数（实数）和代数连通性（复数）将信号稳定性与图连通性联系起来。结果表明，对于无大孔洞的信号，稳定性常数仅随维度呈多项式增长——实数空间中为 $ d^{1/2} $，复数空间中为 $ d $，从而避免了均匀稳定性中常见的指数级‘维度灾难’。

ABSTRACT

This paper is concerned with stable phase retrieval for a family of phase retrieval models we name "locally stable and conditionally connected" (LSCC) measurement schemes. For every signal $f$, we associate a corresponding weighted graph $G_f$, defined by the LSCC measurement scheme, and show that the phase retrievability of the signal $f$ is determined by the connectivity of $G_f$. We then characterize the phase retrieval stability of the signal $f$ by two measures that are commonly used in graph theory to quantify graph connectivity: the Cheeger constant of $G_f$ for real valued signals, and the algebraic connectivity of $G_f$ for complex valued signals. We use our results to study the stability of two phase retrieval models that can be cast as LSCC measurement schemes, and focus on understanding for which signals the "curse of dimensionality" can be avoided. The first model we discuss is a finite-dimensional model for locally supported measurements such as the windowed Fourier transform. For signals "without large holes", we show the stability constant exhibits only a mild polynomial growth in the dimension, in stark contrast with the exponential growth which uniform stability constants tend to suffer from; more precisely, in $R^d$ the constant grows proportionally to $d^{1/2}$, while in $C^d$ it grows proportionally to $d$. We also show the growth of the constant in the complex case cannot be reduced, suggesting that complex phase retrieval is substantially more difficult than real phase retrieval. The second model we consider is an infinite-dimensional phase retrieval problem in a principal shift invariant space. We show that despite the infinite dimensionality of this model, signals with monotone exponential decay will have a finite stability constant. In contrast, the stability bound provided by our results will be infinite if the signal's decay is polynomial.

研究动机与目标

• 为解决高维或无限维空间中相位恢复的不稳定性问题，其中均匀稳定性常数随维度呈指数增长。
• 开发一种局部稳定性框架，基于测量空间中信号特定的连通性来表征相位恢复的稳定性。
• 识别在何种条件下可避免相位恢复中的‘维度灾难’，特别是针对局部支持的测量。
• 建立相位恢复稳定性与图论度量（如切赫常数和代数连通性）之间的定量联系。
• 在 LSCC 框架下分析两种模型——有限维窗傅里叶变换与无限维平移不变空间。

提出的方法

• 为每个信号 $ f $ 定义一个加权图 $ G_f $，其中边表示测量重叠，权重由信号系数导出。
• 使用 $ G_f $ 的切赫常数量化实值信号的局部稳定性，使用代数连通性量化复值信号的稳定性。
• 建立相位可恢复性与 $ G_f $ 连通性之间的联系，表明连通图意味着稳定的相位恢复。
• 应用谱图论，利用最小非零特征值（代数连通性）和边扩张（切赫常数）来界定稳定性常数。
• 分析具有窗傅里叶测量的有限维模型，证明无大孔洞信号的稳定性常数呈多项式增长。
• 将结果扩展至无限维平移不变空间，表明具有单调指数衰减的信号具有有限稳定性常数，而多项式衰减的信号则无界。

实验结果

研究问题

• RQ1 相位恢复的稳定性能否在高维或无限维空间中以局部而非均匀的方式表征？
• RQ2 测量诱导图 $ G_f $ 的连通性与给定信号 $ f $ 的相位恢复稳定性之间有何关系？
• RQ3 在何种信号与测量系统条件下，可避免‘维度灾难’——即稳定性常数的指数增长？
• RQ4 有限维窗傅里叶相位恢复中，稳定性常数的增长率如何，特别是对于无大孔洞的信号？
• RQ5 在平移不变空间中，无限维相位恢复是否对具有指数衰减的信号允许有限稳定性常数？

主要发现

• 在 $ \mathbb{R}^d $ 中的实值信号中，LSCC 框架下稳定性常数与 $ d^{1/2} $ 成正比增长，避免了指数增长。
• 在 $ \mathbb{C}^d $ 中的复值信号中，稳定性常数与 $ d $ 成正比增长，且该增长无法降低，表明复数相位恢复存在根本性困难。
• 在系数支持中无大孔洞的信号可实现稳定相位恢复，且稳定性常数仅呈温和的多项式增长，即使在高维下亦然。
• 在无限维平移不变空间中，具有单调指数衰减的信号具有有限稳定性常数，而具有多项式衰减的信号则无界。
• 实值相位恢复中，$ G_f $ 的切赫常数为稳定性常数的下界；复值情况下，代数连通性起相同作用。
• LSCC 框架通过图论度量对相位恢复稳定性提供了精确表征，使分析得以超越均匀稳定性界限。