[论文解读] Stable representation homology and Koszul duality

Yuri Berest, Ajay C. Ramadoss|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文通过在导出表示方案上使用逆极限构造，引入了稳定表示同调，建立了普罗塞奇定理在表示特征上的推导版本。证明了在增强代数的循环同调上的对称张量代数同稳定表示同调之间存在同构，从而解决了关于有限秩下迹映射满射性的长期悬而未决问题。关键结果是在无限维极限下，循环同调上的对称代数与迹子代数的同调之间存在同构，该结果在科什乌勒对偶性和李同调中的组合恒等式方面具有应用。

ABSTRACT

This paper is a sequel to [BKR], where we studied the derived affine scheme DRep_n(A) of the classical representation scheme Rep_n(A) for an associative k-algebra A. In [BKR], we have constructed canonical trace maps Tr_n(A): HC(A) -> H[DRep_n(A)]^GL extending the usual characters of representations to higher cyclic homology. This raises a question whether a well known theorem of Procesi [P] holds in the derived setting: namely, is the algebra homomorphism Sym[Tr_n(A)]: Sym[HC(A)] -> H[DRep_n(A)]^GL defined by Tr_n(A) surjective ? In the present paper, we answer this question for augmented algebras. Given such an algebra, we construct a canonical dense DG subalgebra DRep_\infty(A)^Tr of the topological DG algebra DRep_\infty(A)^{GL_\infty}. It turns out that on passing to the inverse limit (as n -> \infty), the family of maps Sym[Tr_n(A)] "stabilizes" to an isomorphism Sym[\bar{HC}(A)] = H[DRep_\infty(A)^Tr]. The derived version of Procesi's theorem does therefore hold in the limit. However, for a fixed (finite) n, there exist homological obstructions to the surjectivity of Sym[Tr_n(A)], and we show on simple examples that these obstructions do not vanish in general. We compare our result with the classical theorem of Loday-Quillen and Tsygan on stable homology of matrix Lie algebras. We show that the relative Chevalley-Eilenberg complex C(gl_\infty(A), gl_\infty(k); k) equipped with the natural coalgebra structure is Koszul dual to the DG algebra DRep_\infty(A)^Tr. We also extend our main results to bigraded DG algebras, in which case we show that DRep_{\infty}(A)^Tr = DRep_{\infty}(A)^GL_{\infty}. As an application, we compute the (bigraded) Euler characteristics of DRep_\infty(A)^GL_{\infty} and \bar{HC}(A) and derive some interesting combinatorial identities.

研究动机与目标

• 解决代数同态 ΛTrn(A)• : Λk[HC•(A)] → H•[DRepn(A)]GLn 在有限 n 时是否为满射的问题。
• 通过导出表示方案的逆系统构造稳定极限对象 DRep∞(A)Tr，以实现迹映射的稳定化。
• 在对称代数与稳定表示同调之间建立同构，从而证明普罗塞奇定理的导出版本。
• 探索 gl∞(A) 的契瓦莱-艾连伯格复形与迹子代数 DRep∞(A)Tr 之间的科什乌勒对偶性。
• 通过双分次设定下的欧拉示性数计算推导组合恒等式。

提出的方法

• 将导出表示方案 DRepn(A) 构造为表示 n 维 A-模的导出模空间的共性 DG 代数。
• 定义稳定化映射 DRepn+1(A) → DRepn(A)，形成逆系统，从而得到逆极限 DRep∞(A)GL∞。
• 在 DRep∞(A)GL∞ 中引入迹子代数 DRep∞(A)Tr ⊂ DRep∞(A)GL∞，作为在 GL∞ 作用下封闭的稠密 DG 子代数。
• 证明迹映射族 ΛTrn(A)• 在逆极限下稳定为同构 Λk[HC•(A)] ∼= H•(A, ∞)Tr。
• 构造一个典范扭曲链 τ∞,∞(A) : C•(gl∞(A), gl∞(k); k) → DRep∞(A)Tr，表明契瓦莱-艾连伯格复形与迹子代数之间存在科什乌勒对偶性。
• 利用双分次结构证明 DRep∞(A)Tr = DRep∞(A)GL∞，从而实现欧拉示性数计算与组合恒等式推导。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限 n 时，代数同态 ΛTrn(A)• : Λk[HC•(A)] → H•[DRepn(A)]GLn 是否为满射？
• RQ2 当 n → ∞ 时，迹映射族是否在极限下稳定为同构？
• RQ3 稳定表示同调 H•(A, ∞)Tr 与 gl∞(A) 的李同调之间存在何种关系？
• RQ4 契瓦莱-艾连伯格复形 C•(gl∞(A), gl∞(k); k) 是否与迹子代数 DRep∞(A)Tr 科什乌勒对偶？
• RQ5 能否计算 DRep∞(A)GL∞ 与 HC•(A) 的欧拉示性数，并将其与组合恒等式关联？

主要发现

• 在有限 n 时，映射 ΛTrn(A)• 一般不是满射，存在同调障碍，如第 5.3.1 节中的显式反例所示。
• 在逆极限下，迹映射稳定为同构：Λk[HC•(A)] ∼= H•(A, ∞)Tr，从而证明了普罗塞奇定理的导出版本。
• 契瓦莱-艾连伯格复形 C•(gl∞(A), gl∞(k); k) 通过一个余链扭复 τ∞,∞(A) 与 DRep∞(A)Tr 科什乌勒对偶，意味着 H•(A, ∞)Tr ∼= Ext−•C(k, k)。
• 在双分次 DG 代数中，有 DRep∞(A)Tr = DRep∞(A)GL∞，因此稳定化定理推出 Λ[HC•(A)] ∼= H•(A, ∞)GL∞。
• 欧拉示性数计算导出了新的组合恒等式，其灵感来源于麦克唐纳猜想与莫林-维尔积分。
• 迹子代数 DRep∞(A)Tr 装备有自然的余交换 DG 量子群代数结构，使其同调成为分次量子群代数。