[论文解读] Stahl--Totik regularity for continuum Schrödinger operators

Benjamin Eichinger, Milivoje Lukić|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2020

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文通过使用马丁函数而非格林函数，为半直线上连续施特尔姆-刘易斯算子建立了斯陶尔-托蒂克正则性的理论，原因在于本质谱的无界性。论文证明了在无穷远处马丁函数的二阶渐近展开式，引入了重正化的罗宾常数 $ a $，并推导出一个普遍不等式 $ a \leq \liminf_{x\to\infty} \frac{1}{x}\int_0^x V(t)\,dt $，将谱正则性与势函数的增长联系起来。

ABSTRACT

We develop a theory of regularity for continuum Schrödinger operators based on the Martin compactification of the complement of the essential spectrum. This theory is inspired by Stahl--Totik regularity for orthogonal polynomials, but requires a different approach, since Stahl--Totik regularity is formulated in terms of the potential theoretic Green function with a pole at $\infty$, logarithmic capacity, and the equilibrium measure for the support of the measure, notions which do not extend to the case of unbounded spectra. For any half-line Schrödinger operator with a bounded potential (in a locally $L^1$ sense), we prove that its essential spectrum obeys the Akhiezer--Levin condition, and moreover, that the Martin function at $\infty$ obeys the two-term asymptotic expansion $\sqrt{-z} + \frac{a}{2\sqrt{-z}} + o(\frac 1{\sqrt{-z}})$ as $z o -\infty$. The constant $a$ in that expansion plays the role of a renormalized Robin constant suited for Schrödinger operators and enters a universal inequality $a \le \liminf_{x o\infty} \frac 1x \int_0^x V(t)dt$. This leads to a notion of regularity, with connections to the root asymptotics of Dirichlet solutions and zero counting measures. We also present applications to decaying and ergodic potentials.

研究动机与目标

• 为连续施特尔姆-刘易斯算子发展一种类似于正交多项式斯陶尔-托蒂克正则性的理论，该理论依赖于势论。
• 克服经典斯陶尔-托蒂克理论的局限性，后者依赖于紧支集测度，无法推广至无界谱的情形。
• 通过无穷远处的马丁函数定义施特尔姆-刘易斯算子的正则性，取代格林函数与对数容量。
• 建立涉及重正化罗宾常数 $ a $ 与势函数 $ V $ 平均值的普遍不等式。
• 将正则性条件与狄利克雷解的根渐近行为及零点计数测度联系起来。

提出的方法

• 利用本质谱补集的马丁紧化方法，为无界谱定义谱正则性理论。
• 为本质谱 $ \mathsf{E} $ 在无穷远处定义马丁函数 $ M_{\mathsf{E}} $，并将其归一化为 $ \lim_{z\to -\infty} M_{\mathsf{E}}(z)/\sqrt{-z} = 1 $。
• 证明对于任意局部 $ L^1 $-有界的势函数的施特尔姆-刘易斯算子，其本质谱满足阿基耶泽-莱文条件。
• 推导出二阶渐近展开式 $ M_{\mathsf{E}}(z) = \sqrt{-z} + \frac{a}{2\sqrt{-z}} + o(\frac{1}{\sqrt{-z}}) $，当 $ z \to -\infty $ 时，其中 $ a $ 为重正化的罗宾常数。
• 建立普遍不等式 $ a \leq \liminf_{x\to\infty} \frac{1}{x}\int_0^x V(t)\,dt $，将 $ a $ 与 $ V $ 的长期平均值联系起来。
• 利用复分析与赫尔格洛茨表示定理，分析赫尔格洛茨函数及其相关谱测度的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有无界谱的连续施特尔姆-刘易斯算子发展一种类似斯陶尔-托蒂克的正则性理论？
• RQ2 当谱无界时，马丁函数如何替代格林函数来定义正则性？
• RQ3 此类算子在无穷远处马丁函数的渐近行为如何？
• RQ4 二阶展开式中常数 $ a $ 的作用是什么，它与势函数 $ V $ 有何关系？
• RQ5 能否推导出涉及 $ a $ 与 $ V $ 平均值的普遍不等式，其对谱正则性意味着什么？

主要发现

• 对于任意半直线上局部 $ L^1 $-有界势函数的施特尔姆-刘易斯算子，其本质谱满足阿基耶泽-莱文条件。
• 无穷远处的马丁函数具有二阶渐近展开式 $ M_{\mathsf{E}}(z) = \sqrt{-z} + \frac{a}{2\sqrt{-z}} + o(\frac{1}{\sqrt{-z}}) $，当 $ z \to -\infty $ 时。
• 作为重正化罗宾常数的常数 $ a $ 满足普遍不等式 $ a \leq \liminf_{x\to\infty} \frac{1}{x}\int_0^x V(t)\,dt $。
• 对于满足 $ \sum_{j=1}^N (b_j - a_j) < \infty $ 的有限间隙集，常数 $ a_{\mathsf{E}} $ 显式给出为 $ a_{\mathsf{E}} = b_0 + \sum_{j=1}^N (a_j + b_j - 2c_j) $，其中 $ c_j $ 为马丁函数在每个间隙内的临界点。
• 该理论将正则性与狄利克雷解的根渐近行为及零点计数测度联系起来，扩展了与正交多项式的类比。
• 通过赫尔格洛茨函数收敛性与控制收敛定理，建立了谱数据（包括临界点与谱测度）的收敛性。