[论文解读] Stationary measure of the driven two-dimensional q-Whittaker particle system on the torus

Ivan Corwin, Fabio Lucio Toninelli|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 14被引用 12

一句话总结

该论文首次为环面上驱动的不可逆二维粒子系统构造了显式的非乘积平稳测度，采用交错粒子构型上的q-惠塔克动力学。平稳测度为与q-泊赫哈尔符号乘积成比例的平移不变吉布斯测度，其不变性通过生成元作用中粒子特异性贡献的复杂抵消关系得以证明。

ABSTRACT

We consider a q-deformed version of the uniform Gibbs measure on dimers on the periodized hexagonal lattice (equivalently, on interlacing particle configurations, if vertical dimers are seen as particles) and show that it is invariant under a certain irreversible q-Whittaker dynamic. Thereby we provide a new non-trivial example of driven interacting two-dimensional particle system, or of (2+1)-dimensional stochastic growth model, with explicit stationary measure. We emphasize that this measure is far from being a product Bernoulli measure. These Gibbs measures and dynamics both arose earlier in the theory of Macdonald processes. The q=0 degeneration of the Gibbs measures reduce to the usual uniform dimer measures with given tilt, the degeneration of the dynamics originate in the study of Schur processes and the degeneration of the results contained herein were recently treated in work of the second author.

研究动机与目标

• 为二维交错粒子上局部、不可逆的马尔可夫动力学构造一个显式、非平凡的平稳测度。
• 证明该平稳测度并非乘积测度，而是一个具有长程关联的局部吉布斯测度。
• 将已知的q=0情形（均匀对偶子测度）结果推广至完整的q∈(0,1)范围。
• 通过生成元作用中细致的抵消关系，证明吉布斯测度在q-惠塔克动力学下的不变性。

提出的方法

• 动力学被定义为在交错粒子构型上的连续时间、不可逆跳跃过程，跳跃速率依赖于局部粒子间距与参数q∈[0,1)。
• 所提出的平稳测度为与∏_p (q;q)_{A_p} / [(q;q)_{B_p}(q;q)_{C_p}]成比例的吉布斯测度，其中A_p,…,F_p为粒子间距离。
• 通过证明生成元作用在测度上时结果为全微分，从而实现概率守恒，完成不变性证明。
• 证明依赖于邻近粒子间贡献项的精细抵消，通过直接计算生成元中求和项的时间导数加以验证。
• 该方法可推广至行相关参数a_k，超越均匀情形a_k ≡ 1。
• 该论证受麦克唐纳过程理论启发，但为自包含，不依赖于该框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为环面上驱动的不可逆二维粒子系统构造一个非乘积、显式的平稳测度？
• RQ2 q-惠塔克动力学是否保持一个局部吉布斯测度？若是，其函数形式为何？
• RQ3 平稳测度中的关联行为如何？在q=0时是否退化为已知情形？
• RQ4 生成元与测度的何种结构性质导致尽管动力学不可逆，仍能保持不变性？
• RQ5 该不变性证明能否推广至非均匀行参数a_k？

主要发现

• 平稳测度为平移不变的吉布斯测度，与所有粒子的q-泊赫哈尔符号乘积成比例，参数依赖于局部粒子间距。
• 该测度并非乘积测度；当q=0时，其表现出幂律衰减的空间关联，且该行为预计在q∈(0,1)范围内持续存在。
• 动力学为不可逆且局部的，跳跃速率依赖于粒子间距的q-变形比值。
• 通过生成元作用中各粒子贡献项的非平凡抵消关系，经显式计算验证，证明了不变性。
• 该结果可推广至行相关参数a_k，扩展了具有显式平稳测度的系统类别。
• 当q=0时，结果恢复均匀对偶子测度及博罗丁与费耶尔的动态，其平稳性此前已在[19]中建立。