[论文解读] Statistics of the First Galois Cohomology Group: A Refinement of Malle's Conjecture

Brandon Alberts|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用 13

一句话总结

本文通过引入基于第一伽罗瓦上同调群 $ H^1(K, T) $ 的新计数框架，对 Malle 的猜想进行了改进，其中 $ T $ 是一个带有伽罗瓦作用的阿贝尔群。通过应用 Wiles 关于广义 Selmer 群的定理，作者推导出判别式有界的这些上同调类的渐近增长速率，证明了对许多可解群的首个非平凡下界，并验证了 Türkelli 针对 Malle 原始猜想反例所预测的修正下界。

ABSTRACT

Malle proposed a conjecture for counting the number of $G$-extensions $L/K$ with discriminant bounded above by $X$, denoted $N(K,G;X)$, where $G$ is a fixed transitive subgroup $G\subset S_n$ and $X$ tends towards infinity. We introduce a refinement of Malle's conjecture, if $G$ is a group with a nontrivial Galois action then we consider the set of crossed homomorphisms in $Z^1(K,G)$ (or equivalently $1$-coclasses in $H^1(K,G)$) with bounded discriminant. This has a natural interpretation given by counting $G$-extensions $F/L$ for some fixed $L$ and prescribed extension class $F/L/K$. If $T$ is an abelian group with any Galois action, we compute the asymptotic growth rate of this refined counting function for $Z^1(K,T)$ (and equivalently for $H^1(K,T)$) and show that it is a natural generalization of Malle's conjecture. The proof technique is in essence an application of a theorem of Wiles on generalized Selmer groups, and additionally gives the asymptotic main term when restricted to certain local behaviors. As a consequence, whenever the inverse Galois problem is solved for $G\subset S_n$ over $K$ and $G$ has an abelian normal subgroup $T rianglelefteq G$ we prove a nontrivial lower bound for $N(K,G;X)$ given by a nonzero power of $X$ times a power of $\log X$. For many groups, including many solvable groups, these are the first known nontrivial lower bounds. These bounds prove Malle's predicted lower bounds for a large family of groups, and for an infinite subfamily they generalize Kl\"uners' counter example to Malle's conjecture and verify the corrected lower bounds predicted by T\"urkelli.

研究动机与目标

• 通过将计数范围从仅 $ G $-扩张扩展到有界判别式的交叉同态（1-上同调类）在 $ H^1(K, G) $ 中，来改进 Malle 的猜想。
• 将 Malle 的猜想推广至 $ G $ 具有非平凡伽罗瓦作用的情形，特别是当 $ G $ 包含一个阿贝尔正规子群 $ T \triangleleft G $ 时。
• 建立 $ \#\{\phi \in Z^1(K, T) : \operatorname{disc}(\phi) < X\} $ 的渐近增长速率，表明这是 Malle 原始猜想的自然推广。
• 利用上同调方法，证明 $ N(K, G; X) $（即判别式小于 $ X $ 的 $ G $-扩张的数量）的非平凡下界。
• 验证 Malle 对一大类群（包括可解群）所预测的下界，并通过 Türkelli 的预测将 Kl"uners 的反例推广至修正后的下界。

提出的方法

• 利用 Wiles 关于广义 Selmer 群的定理，分析 $ \#\{\phi \in Z^1(K, T) : \operatorname{disc}(\phi) < X\} $ 的渐近增长，其中 $ T $ 是一个带有伽罗瓦作用的阿贝尔群。
• 将计数函数建模为对对偶群 $ A^* $ 中特征的求和，利用类域论和基本类，将上同调与射影类群联系起来。
• 应用命题 2.2 分析与局部条件相关的欧拉积，通过确定最右侧极点的位置与阶数来确定主项。
• 通过构造同态子集 $ U \subset \operatorname{Hom}_B(\prod_{p\in S} L_p^*, T) \times \cdots $ 构造下界，确保在扭变换下判别式保持不变。
• 利用映射 $ \Psi $ 的满射性，确保嵌入问题有解，从而能够构造出一个满秩的上同调类子族。
• 将对偶 Selmer 群 $ H^1_L(0)^*(K, T^*) $ 的和的长度与射影类域 $ L(\mu_{|T|}) $ 的判别式相关联，得到 $ \ll \operatorname{disc}(L(\mu_{|T|})/K)^{1/2 + \epsilon} $ 的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何改进 Malle 的猜想以考虑群 $ G $ 上的伽罗瓦作用，特别是当 $ G $ 具有非平凡伽罗瓦模结构时？
• RQ2 对于带有伽罗瓦作用的阿贝尔群 $ T $，有界判别式的交叉同态 $ Z^1(K, T) $ 的数量的渐近增长速率是什么？
• RQ3 能否利用上同调方法，为具有阿贝尔正规子群 $ T \triangleleft G $ 的群 $ G $ 建立 $ N(K, G; X) $ 的非平凡下界？
• RQ4 通过 $ H^1(K, T) $ 的改进计数框架是否能恢复并推广 Malle 所预测的下界，特别是在 Malle 原始猜想不成立的情况下？
• RQ5 对偶 Selmer 群 $ H^1_L(0)^*(K, T^*) $ 的结构如何影响计数函数的增长率？它能否用于控制局部条件的数量？

主要发现

• 证明了 $ \#\{\phi \in Z^1(K, T) : \operatorname{disc}(\phi) < X\} $ 的渐近增长速率为 $ \sim c(K, T) X^{1/a(T)} (\log X)^{b(K,T)-1} $，其中 $ a(T) = \min_{g \neq 1} \operatorname{ind}(g) $，这推广了 Malle 的猜想。
• 对于任意满足 $ G \subset S_n $ 且具有阿贝尔正规子群 $ T \triangleleft G $ 的群 $ G $，该方法证明了非平凡下界 $ N(K, G; X) \gg X^{1/a(G)} (\log X)^{b(K,G)-1} $，这是对许多可解群的首个此类下界。
• 该方法验证了 Türkelli 对 $ K = \mathbb{Q} $ 上反例 $ G = C_3 \wr C_2 $ 所预测的修正下界，从而解决了 Kl"uners 对 Malle 原始猜想的反例。
• 证明通过 Wiles 定理确立了改进计数函数的渐近主项，主项来源于 Frobenian 局部条件上欧拉积的最右侧极点。
• 对偶 Selmer 群 $ H^1_L(0)^*(K, T^*) $ 的和的长度被控制在 $ \ll \operatorname{disc}(L(\mu_{|T|})/K)^{1/2 + \epsilon} $ 以内，表明局部条件的数量随判别式亚指数增长。
• 通过 Wiles 定理的方法避免了早期方法中要求局部条件为子群的障碍，从而能够为按判别式排序的计数问题精确确定渐近主项。