[论文解读] Steady low Reynolds number flow of a generalized Newtonian fluid through a slender elastic tube

Vishal Anand, Ivan C. Christov|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2018

Blood properties and coagulation被引用 7

一句话总结

本文针对细长弹性管中稳态、低雷诺数的广义牛顿流体（如幂律流体）流动，发展了一种微扰解析模型，结合润滑理论与薄壳弹性理论。推导出一种广义的Hagen-Poiseuille定律，考虑了流动引起的形变，表明由于截面变化导致流量增强，且与三维直接数值模拟结果高度一致，验证了模型的有效性。

ABSTRACT

An elastic flow vessel can deform significantly due to viscous fluid flow within it, even at vanishing Reynolds number (no fluid inertia). Deformation leads to an enhancement of throughput due to the change in cross-sectional area. The latter gives rise to a non-constant pressure gradient in the flow-wise direction and, hence, to a nonlinear flow rate--pressure drop relation (unlike the Hagen--Poiseuille law for a rigid tube). Biofluids are non-Newtonian, and well approximated by generalized Newtonian (say, power-law) rheological models. Consequently, we analyze the problem of steady low Reynolds number flow of a generalized Newtonian fluid through a slender elastic tube by coupling fluid lubrication theory to a structural problem reduced to transverse loading of a linearly elastic cylindrical shell. A perturbative approach (in the slenderness parameter) yields analytical solutions for both the flow and the deformation. Using matched asymptotics, we obtain a uniformly valid solution for the tube's radial displacement, which features both a boundary layer and a corner layer caused by localized bending near the clamped ends. In doing so, we obtain a ``generalized Hagen--Poiseuille law'' for soft microtubes. We benchmark the mathematical predictions against three-dimensional two-way coupled direct numerical simulations (DNS) of flow and deformation performed using the commercial computational engineering platform by ANSYS. The simulations show good agreement and establish the range of validity of the theory. Finally, we discuss the implications of the theory on the problem of the flow-induced deformation of a blood vessel, which is featured in some textbooks.

研究动机与目标

• 建立广义牛顿流体在细长弹性管中流动的稳态、低雷诺数模型，考虑流固耦合作用。
• 推导径向管壁位移的解析解，捕捉由于固定端局部弯曲引起的边界层和角部层。
• 为软微管建立广义Hagen-Poiseuille定律，反映因管壁变形导致的非线性流量-压降关系。
• 通过高保真三维双向耦合直接数值模拟（DNS）验证理论预测。
• 探讨其在符合血流动力学特性的可变形血管中的应用，如某些教科书中所讨论。

提出的方法

• 采用润滑理论建模广义牛顿流体流动，假设主导为粘性力，惯性力可忽略。
• 应用薄壳弹性理论，描述细长管在横向流体压力载荷下的径向变形。
• 采用细长参数的微扰方法，推导流动与变形的渐近解。
• 应用匹配渐近展开法，构建径向位移的统一有效解，解析边界层与角部层。
• 求解流固耦合问题，获得流量与压降之间的非线性关系，该关系与经典Hagen-Poiseuille定律显著不同。
• 利用ANSYS进行三维双向耦合DNS，验证解析模型在变形与流动全范围内的准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在低雷诺数下，细长弹性管的形变如何改变广义牛顿流体的流量-压降关系？
• RQ2 在粘性流动载荷下，细长弹性管的径向位移场结构如何，特别是在固定端附近？
• RQ3 微扰渐近解在预测流动与变形方面，与全三维模拟相比，其准确性如何？
• RQ4 非牛顿流变特性（如幂律行为）如何影响因管腔扩张导致的流量增强？
• RQ5 所推导的广义Hagen-Poiseuille定律在生理条件下软微管中的适用范围是什么？

主要发现

• 该解析模型成功捕捉了弹性管径向位移中的边界层与角部层，其成因是固定端处的局部弯曲。
• 所推导的广义Hagen-Poiseuille定律考虑了因形变导致的可变截面面积，从而得到与刚性管情形不同的非线性流量-压降关系。
• 理论预测与使用ANSYS进行的三维直接数值模拟结果高度一致，证实了模型的准确性与有效适用范围。
• 模型表明，即使在雷诺数趋近于零时，流动引起的形变仍能通过增加有效截面面积来增强流量。
• 微扰方法在整根管长范围内均获得一致有效的解，包括端部附近应力梯度较大的区域，这对精确建模至关重要。
• 研究结果为理解可变形微血管系统（如血流动力学中的血管）中的流动提供了理论基础，其中非牛顿效应与管壁弹性均具有重要意义。