[论文解读] Steady state clusters and the Rath-Toth mean field forest fire model

Edward Crane|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文引入了稳态簇——一种通过递归分布方程定义的随机有限根树，其中一棵树要么是单点，要么由两个独立副本在均匀随机顶点处连接而成，并在均匀随机顶点处重新根。关键贡献在于证明该簇是再生生长过程的平稳分布，并推测其为Ráth和Tóth提出的平均场森林火灾模型中带标签顶点簇的局部弱极限，同时与多类型Galton-Watson树及随机加权生成树存在关联。

ABSTRACT

We introduce a random finite rooted tree $\mathcal{C}$, the steady state cluster, characterized by a recursive description: $\mathcal{C}$ is a singleton with probability $1/2$ and otherwise is obtained by joining by an edge the roots of two independent trees $\mathcal{C}'$ and $\mathcal{C}''$, each having the law of $\mathcal{C}$, then re-rooting the resulting tree at a uniform random vertex. We construct a stationary regenerative stochastic process $\mathcal{C}(t)$, the steady state cluster growth process. It is characterized by a simple fixed-point property. Its stationary distribution is the law of the steady state cluster $\mathcal{C}$. We conjecture that $\mathcal{C}(t)$ is the local limit of the evolution of the cluster of a tagged vertex in the stationary state of the mean field forest fire model of Ráth and Tóth. We describe its explosions in terms of a Lévy subordinator, using a state-dependent time change. The steady state cluster is also a multitype Galton-Watson tree with a continuum of types. The steady state cluster conditioned on its size is a random weighted spanning tree of the complete graph equipped random edge weights with a simple explicit joint distribution. The time-reversal of the steady state cluster growth process is realised as the component of a `uniform' vertex in a logging process of a critical multitype Galton-Watson tree conditioned to be infinite. We construct a stationary forest fire model on the infinite rooted tree $\mathbb{Z}^*$ with the property that the evolution of the cluster of the root is a version of the steady state cluster growth process. This model is similar in spirit to Aldous' frozen percolation model on the rooted infinite binary tree. We conjecture that it is the local weak limit of the stationary Ráth-Tóth model.

研究动机与目标

• 通过递归分布方程定义并表征一种新的随机树模型——稳态簇。
• 构建一个平稳的再生生长过程，其不变分布即为稳态簇的分布。
• 推测该过程是Ráth和Tóth平均场森林火灾模型中带标签顶点簇的局部弱极限。
• 建立稳态簇与其他随机过程（包括临界多类型Galton-Watson树和随机加权生成树）之间的联系。
• 通过无限临界多类型Galton-Watson树上的砍伐过程，提供该过程的时间反演描述。

提出的方法

• 通过递归分布方程定义稳态簇：以概率1/2为单点，否则由两个独立副本在均匀随机顶点处连接并均匀随机重新根。
• 将稳态簇生长过程构造为有限根树上的平稳再生马尔可夫过程，其不变分布即为稳态簇的分布。
• 使用状态相关的时变方法，通过Lévy子过程描述过程中的爆炸现象。
• 以连续类型集合的临界多类型Galton-Watson树形式，提供稳态簇的另一种描述。
• 在给定大小的条件下，证明稳态簇等价于完全图上的随机加权生成树，其边权具有由过程动力学导出的特定联合分布。
• 在无限根树 $\mathbb{Z}^*$ 上构造一个无限森林火灾模型，使得根的簇演化为稳态簇生长过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 稳态簇是否作为Ráth-Tóth平均场森林火灾模型在平稳状态下带标签顶点簇的局部弱极限出现？
• RQ2 稳态簇能否等价地描述为具有连续类型集合的多类型Galton-Watson树？
• RQ3 在Ráth-Tóth模型的平稳状态下，大小加权簇分布是否随系统规模趋于无穷而收敛至稳态簇的分布？
• RQ4 如何通过耦合的多类型Galton-Watson树描述稳态簇生长过程的动力学？
• RQ5 稳态簇生长过程的时间反演是什么？其与无限临界多类型Galton-Watson树上砍伐过程的关系如何？

主要发现

• 稳态簇几乎必然有限，但具有无限的期望大小，满足临界随机树的性质。
• 稳态簇由一个递归分布方程唯一表征，涉及在均匀随机顶点处连接的独立副本，并在均匀随机顶点处重新根。
• 稳态簇生长过程的平稳分布即为稳态簇的分布，且该过程是再生的，在状态相关时变下其爆炸现象由Lévy子过程描述。
• 在给定大小的条件下，稳态簇的分布等价于完全图上的随机加权生成树，其边权具有由过程动力学导出的联合分布。
• 稳态簇生长过程的时间反演对应于在无限临界多类型Galton-Watson树上，对均匀随机顶点所在连通分量进行砍伐过程的条件分布。
• 在 $\mathbb{Z}^*$ 上构造了一个无限森林火灾模型，使得根的簇演化为稳态簇生长过程，支持了其为平稳Ráth-Tóth模型局部弱极限的猜想。