[论文解读] Steady-state $\mathit{GI}/\mathit{GI}/\mathit{n}$ queue in the Halfin-Whitt regime

David Gamarnik, David A. Goldberg|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2011

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 21被引用 15

一句话总结

该论文在 Halfin-Whitt 规模下建立了 GI/GI/n 队列稳态队列长度的紧性与大偏差界限。通过基于高斯过程上确界的新颖结构化界限，证明了在最小矩条件下的归一化稳态队列长度分布的紧性，并推导出大偏差指数的匹配上下界，从而在到达过程为泊松过程时，证实了针对一般服务时间分布的猜想。

ABSTRACT

We consider the FCFS $\mathit{GI}/\mathit{GI}/n$ queue in the so-called Halfin-Whitt heavy traffic regime. We prove that under minor technical conditions the associated sequence of steady-state queue length distributions, normalized by $n^{1/2}$, is tight. We derive an upper bound on the large deviation exponent of the limiting steady-state queue length matching that conjectured by Gamarnik and Momcilovic [Adv. in Appl. Probab. 40 (2008) 548-577]. We also prove a matching lower bound when the arrival process is Poisson. Our main proof technique is the derivation of new and simple bounds for the FCFS $\mathit{GI}/\mathit{GI}/n$ queue. Our bounds are of a structural nature, hold for all $n$ and all times $t\geq0$, and have intuitive closed-form representations as the suprema of certain natural processes which converge weakly to Gaussian processes. We further illustrate the utility of this methodology by deriving the first nontrivial bounds for the weak limit process studied in [Ann. Appl. Probab. 19 (2009) 2211-2269].

研究动机与目标

• 解决 GI/GI/n 队列在 Halfin-Whitt 规模下稳态队列长度紧性与大偏差指数的开放问题。
• 解决 Gamarnik 和 Momcilovic (2008) 关于一般服务时间分布下稳态队列长度大偏差指数的猜想。
• 为 FCFS GI/GI/n 队列开发一种新型通用边界方法，避免分析完整的队列动力学。
• 在 Halfin-Whitt 规模下建立对弱极限过程的首个非平凡边界。
• 提出一个统一框架，利用收敛到高斯过程的自然过程的上确界，分析多服务器队列系统。

提出的方法

• 推导适用于所有 n 和所有 t ≥ 0 的 FCFS GI/GI/n 队列的新结构上下界。
• 将边界表示为收敛到高斯过程的弱收敛过程的上确界，从而实现渐近分析。
• 利用矩界和条件化论证控制队列长度过程的 r 阶矩，利用独立性与更新过程的性质。
• 对时间 t 进行分情况讨论以处理不同区域（t ≤ 2/n，t ∈ [2/n, 2]，t ≥ 2），使用定制化的矩估计与尾部界。
• 通过归一化队列长度的统一矩界建立紧性，表明其增长至多为 nt 的多项式形式。
• 利用上下界之间的对偶性，在泊松到达条件下推导出匹配的大偏差指数边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在最小技术条件下（包括到达与服务时间分布的有限 2+ε 矩），GI/GI/n 队列在 Halfin-Whitt 规模下，经 n^{1/2} 归一化的稳态队列长度分布序列是否紧？
• RQ2 在 Halfin-Whitt 规模下，GI/GI/n 队列中极限稳态队列长度的大偏差指数的确切值是什么？
• RQ3 能否为 FCFS GI/GI/n 队列开发一种通用的边界方法，避免分析完整的队列动力学？
• RQ4 该猜想的大偏差指数 −2B(c_A^2 + c_S^2)^{-1} 是否对一般服务时间分布成立，而不仅限于有界支持？
• RQ5 所提出的边界是否可用于推导 Halfin-Whitt 规模下弱极限过程的非平凡性质？

主要发现

• 在最小技术条件下（包括到达与服务时间分布的有限 2+ε 矩），经 n^{1/2} 归一化的稳态队列长度分布序列是紧的。
• 推导出极限稳态队列长度大偏差指数的上界，该上界与 Gamarnik 和 Momcilovic (2008) 的猜想指数 −2B(c_A^2 + c_S^2)^{-1} 一致。
• 当到达过程为泊松过程时，证明了大偏差指数的匹配下界，从而在该情况下证实了猜想指数。
• 所提出的边界方法首次为 [Ann. Appl. Probab. 19 (2009) 2211–2269] 中研究的弱极限过程提供了非平凡边界。
• 边界通过收敛到高斯过程的过程的上确界推导得出，为分析多服务器队列提供了一般且直观的框架。
• 建立了归一化队列长度的统一矩界，表明 r 阶矩的增长至多为 (1 + (nt)^{r/2})，从而支持紧性与大偏差分析。