[论文解读] Stieltjes, Poisson and other integral representations for functions of Lambert $W$

G. A. Kalugin, David J. Jeffrey+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2011

Sports Dynamics and Biomechanics参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文证明了涉及Lambert W函数主分支的众多函数均为Stieltjes函数，为 $1/W(z)$、$W(z)/z$ 及相关函数提供了显式的Stieltjes积分表示。本文证明了Jackson、Procacci与Sokal的广义猜想，并基于Poisson、Burniston–Siewert及Pick/Bernstein函数理论推导出积分表示，实现了谱收敛的求积法并带来计算优势。

ABSTRACT

We show that many functions containing $W$ are Stieltjes functions. Explicit Stieltjes integrals are given for functions $1/W(z)$, $W(z)/z$, and others. We also prove a generalization of a conjecture of Jackson, Procacci & Sokal. Integral representations of $W$ and related functions are also given which are associated with the properties of their being Pick or Bernstein functions. Representations based on Poisson and Burniston--Siewert integrals are given as well.

研究动机与目标

• 建立各种Lambert W函数属于Stieltjes函数类的结论。
• 为关键函数如 $1/W(z)$ 和 $W(z)/z$ 推导显式的Stieltjes积分表示。
• 推广Jackson、Procacci与Sokal关于含$W$函数完全单调性的猜想。
• 基于Poisson与Burniston–Siewert积分，为$W(z)$及其相关函数建立积分表示。
• 通过谱收敛求积法与等价积分的简化，展示其计算实用性。

提出的方法

• 利用定义 $ f(x) = a + \int_0^\infty \frac{d\mu(t)}{x+t} $ 与正测度 $\mu$ 推导Stieltjes积分表示。
• 应用Stieltjes函数的性质，包括复合、逆运算及幂平均下的封闭性。
• 运用复分析与围道积分推导如(91)与(92)等表示，涉及对数与反正切积分。
• 应用Burniston–Siewert积分方法，通过沿一条围道的复对数积分表达 $W(z)$。
• 利用Pick与Bernstein函数理论，推导与完全单调性及正定性相关的积分表示。
• 采用分部积分与渐近分析简化积分，例如将(93)转化为(94)。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些Lambert W函数是Stieltjes函数？
• RQ2 能否为 $1/W(z)$ 与 $W(z)/z$ 推导出显式的Stieltjes积分表示？
• RQ3 Jackson、Procacci与Sokal关于含$W$函数完全单调性的广义猜想是否成立？
• RQ4 如何应用Poisson与Burniston–Siewert积分来表示 $W(z)$？
• RQ5 这些积分表示在求积法与简化方面带来了哪些计算优势？

主要发现

• 函数 $W(z)/z$ 是Stieltjes函数，意味着Padé逼近中极点交错分布，并在求积法中实现谱收敛。
• 通过测度论与复分析方法，为 $1/W(z)$、$W(z)/z$ 及相关函数推导出显式的Stieltjes积分表示。
• Jackson、Procacci与Sokal关于含$W$函数完全单调性的广义猜想被证明为真。
• 通过复对数积分推导出 $W(z)$ 的新积分表示，对 $z \notin [-1/e, 0]$ 成立，见公式(92)。
• 积分表示(94)为 $x > 1/e$ 时的 $W(x)$ 提供了简化后的实值形式，包含反正切与对数权重。
• 通过比较不同积分形式（如(69)与(35)），揭示了等价表达式，并实现了对复杂数积分的简化。