[论文解读] Stochastic Completeness of Graphs

Radosław K. Wojciechowski|ArXiv.org|Dec 10, 2007

Graph theory and applications参考文献 9被引用 57

一句话总结

本文通过固定根点出发距离为r处的平均顶点度数m(r)，利用级数∑₁/ₘ(r)的发散性，为无限、局部有限、连通图建立了随机完备性的精确判别准则。研究证明，顶点度数快速增长的图（例如某些树）是随机不完备的，并将其与谱性质联系起来，表明在几何条件下，拉普拉斯算子的纯谱为空。

ABSTRACT

In this thesis, we analyze the stochastic completeness of a heat kernel on graphs which is a function of three variables: a pair of vertices and a continuous time, for infinite, locally finite, connected graphs. For general graphs, a sufficient condition for stochastic completeness is given in terms of the maximum valence on spheres about a fixed vertex. That this result is optimal is shown by studying a particular family of trees. We also prove a lower bound on the bottom of the spectrum for the discrete Laplacian and use this lower bound to show that in certain cases the Laplacian has empty essential spectrum.

研究动机与目标

• 通过顶点度数增长的几何条件，刻画无限图的随机完备性。
• 基于∑₁/ₘ(r)的发散性，建立以m(r)为距离r处根点平均度数的随机不完备性的精确边界。
• 将随机完备性与离散拉普拉斯算子的谱性质联系起来，特别是谱的下确界与本质谱。
• 将黎曼几何中的比较定理推广至离散图，以模型树作为参考结构。
• 证明在特定几何增长条件下，图上的拉普拉斯算子具有空的本质谱，类似于负曲率流形上的结果。

提出的方法

• 通过截断法构造一般图上的热核，并验证其与谱定理构造的等价性。
• 将模型树定义为顶点度数仅依赖于与根点距离的图，从而实现对热核的显式分析。
• 利用径向函数上热核的比较技术，证明模型树当且仅当∑₁/ₘ(r) = ∞时是随机完备的。
• 建立热核比较定理：若一般树的分支速度快于模型树，则其热核在每一点上均更小。
• 引入有界拉普拉斯算子（采用标准边权），并证明其热核对所有图均为随机完备。
• 基于涉及朝向和远离根点的边的几何比值条件，推导出谱下确界λ₀(Δ)的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种顶点度数增长的几何条件可确保图的随机完备性？
• RQ2 在顶点度数仅依赖于与根点距离的模型树结构中，如何决定其随机完备性？
• RQ3 在何种条件下，图上的离散拉普拉斯算子具有空的本质谱？
• RQ4 树上的热核比较定理如何与随机完备性及谱界相关联？
• RQ5 正λ-调和函数的存在性与谱下确界之间存在何种关系？

主要发现

• 当且仅当∑_{r=0}^∞ 1/m(r) = ∞时，模型树是随机完备的，其中m(r)为距根点距离为r处的公共度数。
• 若一棵树包含一个随机不完备的模型子树，则整棵树均为随机不完备。
• 若一棵树T包含于一个随机完备的模型树Tₙ中，则T本身也是随机完备的。
• 对任意图G，若以固定顶点为中心的球面上的最大度数增长足够缓慢，则G是随机完备的。
• 有界拉普拉斯算子对应的热核对所有图均为随机完备。
• 若以固定顶点为中心的球面上的最小度数趋于无穷，且满足某一几何比值条件，则拉普拉斯算子具有空的本质谱。