[论文解读] Stochastic differential equation with jumps for multi-type continuous state and continuous time branching processes with immigration

Mátyás Barczy, Zenghu Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用 43

一句话总结

本文证明，在矩条件之下，具有移民的广义多类型连续状态连续时间分支过程（CBI）可被表示为带跳的随机微分方程（SDE）的路径唯一强解。该SDE包含布朗运动、泊松随机测度以及一个补偿跳测度，从而将CBI过程识别为由扩散、漂移和跳分量驱动的解。

ABSTRACT

A multi-type continuous state and continuous time branching process with immigration satisfying some moment conditions is identified as a pathwise unique strong solution of certain stochastic differential equation with jumps.

研究动机与目标

• 通过带跳的随机微分方程（SDE）表征具有移民的多类型连续状态连续时间分支过程（CBI）。
• 在矩条件之下，建立所提出SDE的弱解存在性与唯一性。
• 证明SDE的路径唯一性及强解存在性，从而将其与CBI过程直接关联。
• 将先前关于单类型与双类型CBI过程的结果推广至具有一般移民的多类型情形。
• 通过表示定理，将CBI过程表示为连续局部鞅、纯不连续局部鞅与漂移项之和。

提出的方法

• 利用移民超过程表示为局部鞅与漂移项之和的方法，推导广义多类型CBI过程的带跳SDE。
• 利用随机测度 $ \widetilde{N}_0 $ 的补偿，表示纯不连续局部鞅分量。
• 通过右连续局部鞅的表示定理，将跳积分重写为泊松测度与补偿泊松测度的形式。
• 应用由Li [13, 命题9.11] 推导出的CBI过程一阶矩公式，以确定漂移与跳分量。
• 利用矩条件与SDE结构，在 $[0,\infty)^d$-值弱解中证明弱解的唯一性（依分布）。
• 通过比较定理建立SDE的路径唯一性与强解存在性，扩展Ma [14] 的技术方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在矩条件之下，广义多类型CBI过程（具移民）能否被表示为带跳SDE的路径唯一强解？
• RQ2 CBI过程的跳分量如何通过泊松测度与补偿泊松测度进行分解？
• RQ3 何种矩条件可确保SDE的弱解与强解存在且唯一？
• RQ4 SDE表示与CBI过程的无穷小生成元及半群结构之间有何关系？
• RQ5 SDE如何推广先前关于单类型与双类型CBI过程的研究结果？

主要发现

• 在矩条件之下，CBI过程被识别为特定带跳SDE的路径唯一强解。
• SDE包含布朗运动分量、漂移项，以及由定义在 $ (0,\infty) \times ([0,\infty)^d \setminus \{\mathbf{0}\}) $ 上的随机测度驱动的补偿跳积分。
• 任何 $[0,\infty)^d$-值弱解均为CBI过程，从而确立了SDE与CBI过程类之间的等价性。
• CBI过程的一阶矩通过Li [13, 命题9.11] 推导出的公式表征，该公式在SDE推导中起关键作用。
• 在 $[0,\infty)^d$-值弱解中，SDE满足路径唯一性，从而保证了路径唯一强解的存在性。
• 该结果将Ma [14] 关于特殊双类型CBI过程的工作推广至具有一般移民的完整多类型情形。