[论文解读] Stochastic heat equations with general multiplicative Gaussian noises: Hölder continuity and intermittency

Yaozhong Hu, Jingyu Huang+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用 7

一句话总结

本文利用费曼-费曼-卡茨公式和马利avin微积分，建立了具有广义乘法高斯噪声的随机热方程解的赫尔德连续性与间歇性性质。在广义的时间与空间协方差结构下，推导了伊藤-斯科罗霍德与斯特拉托诺维奇解释下的精确矩估计，证明了解在时间与矩阶数上具有指数尾部衰减，从而确认了解的间歇行为。

ABSTRACT

This paper studies the stochastic heat equation with multiplicative noises of the form uW, where W is a mean zero Gaussian noise and the differential element uW is interpreted both in the sense of Skorohod and Stratonovich. The existence and uniqueness of the solution are studied for noises with general time and spatial covariance structure. Feynman-Kac formulas for the solutions and for the moments of the solutions are obtained under general and different conditions. These formulas are applied to obtain the Hölder continuity of the solutions. They are also applied to obtain the intermittency bounds for the moments of the solutions.

研究动机与目标

• 建立具有广义乘法高斯噪声的随机热方程解的赫尔德连续性。
• 推导在斯科罗霍德与斯特拉托诺维奇解释下解的矩估计。
• 通过量化高阶矩的增长，证明解的间歇性。
• 在广义协方差结构下，为解及其矩建立费曼-卡茨公式。
• 将现有结果从仅白噪声（时间或空间）推广至广义的时间与空间相关函数。

提出的方法

• 利用混沌展开证明在广义噪声协方差结构下解的存在性与唯一性。
• 应用马利avin微积分与斯科罗霍德积分形式化，以处理伊藤-斯科罗霍德意义下的乘法噪声。
• 通过路径积分与杨积分技术，为时变与时不变噪声构造费曼-卡茨泛函。
• 利用傅里叶分析与布朗运动路径估计，推导矩的上下界。
• 利用布朗运动的标度性质，并通过热核逼近狄拉克δ函数，分析矩的增长。
• 应用柯西-施瓦茨不等式与概率估计，控制矩的增长并建立指数界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种噪声协方差条件下，具有乘法高斯噪声的随机热方程在斯科罗霍德或斯特拉托诺维奇意义下存在唯一解？
• RQ2 解的赫尔德连续性如何依赖于噪声的时间与空间相关结构？
• RQ3 解的k阶矩在时间和k上的精确渐近增长速率为何？其如何反映间歇性特征？
• RQ4 解及其矩的费曼-卡茨公式如何依赖于噪声的广义协方差结构？
• RQ5 在相同噪声条件下，斯科罗霍德与斯特拉托诺维奇形式化下的矩估计在多大程度上存在差异？

主要发现

• 对于具有自相似指数β ∈ (0,1) 的时变噪声，解的k阶矩在大t与k下以exp(Ct^{3-2β}k^3)增长，确认强间歇性。
• 对于具有空间协方差Λ(x) ∝ |x|^{-(d-a)}（d维空间）的时不变噪声，k阶矩以exp(Ct^{(4-a)/(2-a)}k^{(4-a)/(2-a)})增长，其中a ∈ (0,2)，表明幂律间歇性标度。
• 在空间白噪声（δ₀(x)）情形下，斯特拉托诺维奇情形的矩增长为exp(Ct^3k^3)，斯科罗霍德情形为exp(Ct^{3-2β}k^3)，两者均确认间歇性。
• 解在时间和空间上均表现出赫尔德连续性，其正则性取决于噪声协方差结构的光滑性。
• 为斯科罗霍德与斯特拉托诺维奇形式化均推导出费曼-卡茨公式，通过随机积分与混沌展开实现矩估计。
• 结果确认了解在矩增长速率意义下具有间歇性，满足文献中标准的间歇性条件（1.4）。