[论文解读] Stochastic homogenization in amorphous media and applications to exclusion processes

Alessandra Faggionato|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文通过扩展的两尺度收敛框架，建立了在无序介质（如带标记的泊松点过程）上具有无界跳跃范围的随机游走的随机均质化理论。研究证明了此类环境中对称简单 exclusion 过程的流体动力学极限，其应用涵盖无序固体中的 Mott 变范围跳跃机制。

ABSTRACT

We consider random walks on marked simple point processes with symmetric jump rates and unbounded jump range. We prove homogenization properties of the associated Markov generators. As an application, we derive the hydrodynamic limit of the simple exclusion process given by multiple random walks as above, with hard-core interaction, on a marked Poisson point process. The above results cover Mott variable range hopping, which is a fundamental mechanism of phonon-induced electron conduction in amorphous solids as doped semiconductors. Our techniques, based on an extension of two-scale convergence, can be adapted to other models, as e.g. the random conductance model.

研究动机与目标

• 建立在带标记的简单点过程上具有无界跳跃范围的连续时间随机游走的均质化理论。
• 将两尺度收敛技术扩展至缺乏晶格结构的无序介质，以分析长程跳跃行为。
• 推导在随机环境中对称简单 exclusion 过程的流体动力学极限，包括 Mott 变范围跳跃机制。
• 为具有长程相互作用的无序固体及其他随机介质提供严格的数学框架。
• 通过 Palm 测度与遍历理论，将现有均质化结果推广至非晶格、非周期性及非遍历性结构。

提出的方法

• 通过引入‘无序梯度’，将两尺度收敛方法适配于无序介质，以编码点过程中所有粒子对之间的差异。
• 以带标记点过程上连续时间随机游走的生成元作为基础算子，其跳跃速率依赖于空间距离与位点能量。
• 通过环境空间中正确器方程的解，以变分法表征有效扩散矩阵 D。
• 利用扩展的两尺度收敛框架，证明归一化解收敛于具有矩阵 D 的确定性扩散方程。
• 利用底层点过程（如泊松过程或基于位点渗透的模型）的遍历性与平稳性，确保依分布收敛。
• 结合 Lax-Milgram 定理与梯度的 $ L^2 $-有界性，建立解与能量泛函的弱收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将随机均质化理论扩展至具有无界跳跃范围与长程相互作用的无序介质上的随机游走？
• RQ2 在带标记点过程上的 exclusion 过程的流体动力学极限中，有效扩散矩阵如何涌现？
• RQ3 两尺度收敛能否被适配于具有无限范围跳跃的非晶格、非周期性随机介质？
• RQ4 环境的遍历性与平稳性在确保收敛至确定性扩散过程中的作用是什么？
• RQ5 在均质化极限下，归一化过程的能量与梯度泛函如何收敛？

主要发现

• 归一化随机游走生成元 $ \frac{1}{\rho} \tilde{\rho} \to \nabla \tilde{D} \nabla $，其中 $ \tilde{D} $ 是通过变分公式导出的有效扩散矩阵。
• 归一化泊松方程 $ \rho u_\rho - \tilde{L}_\rho u_\rho = f_\rho $ 的解 $ u_\rho $ 弱收敛于有效方程 $ \rho u - \nabla D \nabla u = f $ 的解 $ u $。
• 归一化过程的梯度与能量泛函在 $ L^2 $ 意义下收敛至其均质化对应量，且半群也收敛。
• 在假设环境具有遍历性与平稳性的前提下，带标记泊松点过程上对称简单 exclusion 过程的流体动力学极限为具有矩阵 $ D $ 的确定性扩散过程。
• 有效扩散矩阵 $ D $ 通过环境空间中的正确器方程表征，满足 $ \nabla u = 0 $ $ \nu $-几乎必然意味着 $ D $ 是良定义且对称的。
• 该方法不仅适用于 Mott v.r.h.，还可推广至随机导纳模型与 Delaunay 三角剖分等模型，因其具有通用结构。