[论文解读] Stochastic Near-Optimal Controls for Path-Dependent Systems

Dorival Leão, Alberto Ohashi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文提出了一种路径相关的近似最优控制构造方法，适用于由布朗运动驱动的随机控制问题，特别针对非马尔可夫和非半鞅系统。通过利用弱微分结构和可测选择，该方法在无需椭圆性或泛函可微性假设的条件下，刻画了近似最优控制，并将该框架应用于路径相关SDEs以及一个非马尔可夫金融投资组合优化问题。

ABSTRACT

In this article, we present a general methodology for control problems driven by the Brownian motion filtration including non-Markovian and non-semimartingale state processes controlled by mutually singular measures. The main result of this paper is the development of a concrete pathwise method for characterizing and computing near-optimal controls for abstract controlled Wiener functionals. The theory does not require ad hoc functional differentiability assumptions on the value process and elipticity conditions on the diffusion components. The analysis is pathwise over suitable finite dimensional spaces and it is based on the weak differential structure introduced by Leão, Ohashi and Simas jointly with measurable selection arguments. The theory is applied to stochastic control problems based on path-dependent SDEs where both drift and possibly degenerated diffusion components are controlled. Optimal control of drifts for path-dependent SDEs driven by fractional Brownian motion is also discussed. We finally provide an application in the context of financial mathematics. Namely, we construct near-optimal controls in a non-Markovian portfolio optimization problem.

研究动机与目标

• 开发一种系统化、路径相关的随机最优控制方法，适用于非马尔可夫和非半鞅系统。
• 在最小正则性条件下构造近似最优控制，避免对精确最优控制的依赖（后者可能不存在或数值不稳定）。
• 将控制理论扩展至具有受控漂移项且扩散项可能退化的路径相关SDEs。
• 为分数布朗运动和非马尔可夫金融模型提供一个适用框架。
• 在无需人为可微性假设的前提下，为抽象受控维纳泛函提供一种构造性近似最优控制方法。

提出的方法

• 采用Leão、Ohashi和Simas提出的弱微分结构，分析有限维空间中的路径相关变分。
• 利用可测选择论证，从参数空间上的逐点最大化构造控制策略。
• 基于有限时域近似和时间阶段上的递归向后归纳，实施一种离散化方案。
• 依赖通过适应控制上的essential supremum定义的值过程，避免对HJB方程或PDE的依赖。
• 通过在每个时间阶段求解一系列最大化问题来构造近似最优控制，误差被控制在任意ε > 0以内。
• 利用涉及双曲余弦和误差函数的截断积分的收敛性，确保近似误差呈指数衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不假设值过程为泛函可微的条件下，系统性地构造路径相关SDEs的近似最优控制？
• RQ2 能否开发一种路径相关方法，避免对扩散项的椭圆性或非退化性条件的要求？
• RQ3 在何种最小假设集合下，近似最优控制存在且可显式计算？
• RQ4 该理论如何推广至由分数布朗运动驱动的非马尔可夫系统？
• RQ5 该框架能否应用于构造具有路径相关收益结构的非马尔可夫金融模型中的近似最优投资组合？

主要发现

• 本文构造了近似最优控制 $ C^{ heta}_{k, au} $，使得收益的期望值不超过上确界 $ \theta > 0 $，对任意给定的 $ \theta $ 成立。
• 近似误差呈指数衰减，其上界为 $ \frac{2}{\theta(2n+1)}e^{-\frac{\theta(2n+1)^2}{4}} $，确保在离散化参数 $ n $ 下快速收敛。
• 该方法无需假设值过程为泛函可微，也无需扩散项非退化。
• 该构造对路径相关SDEs中的受控漂移项和退化扩散项均有效，超越了经典马尔可夫设定。
• 该框架成功应用于一个非马尔可夫投资组合优化问题，展示了其在金融数学中的实际相关性。
• 序列 $ \bar{a}^{k,\tau}_n $ 收敛于最大化器，确保当 $ n $ 足够大时，近似最优控制在一致意义下与最优值相差不超过 $ \theta $。