[论文解读] Stochastic Shortest Paths and Risk Measures

Axel Parmentier, Frédéric Meunier|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2014

Transportation and Mobility Innovations参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文提出高效算法求解在风险度量（如CVaR和尾部概率）下的随机最短路径问题，利用源自随机准时到达问题（SOTA）的随机下界。该方法借助通常的随机序关系剪枝次优路径，实现快速求解——在多种网络实例中，求解时间通常低于一秒，且SOTA预处理可提供高质量的下界。

ABSTRACT

We consider three shortest path problems in directed graphs with random arc lengths. For the first and the second problems, a risk measure is involved. While the first problem consists in finding a path minimizing this risk measure, the second one consists in finding a path minimizing a deterministic cost, while satisfying a constraint on the risk measure. We propose algorithms solving these problems for a wide range of risk measures, which includes among several others the $CVaR$ and the probability of being late. Their performances are evaluated through experiments. One of the key elements in these algorithms is the use of stochastic lower bounds that allow to discard partial solutions. Good stochastic lower bounds are provided by the so-called Stochastic Ontime Arrival Problem. This latter problem is the third one studied in this paper and we propose a new and very efficient algorithm solving it. Complementary discussions on the complexity of the problems are also provided.

研究动机与目标

• 解决弧长为随机变量、目标函数涉及CVaR或尾部概率等风险度量的随机最短路径问题。
• 设计算法以最小化路径持续时间的风险度量，同时满足资源约束。
• 通过利用源自随机准时到达问题（SOTA）的随机下界，提升计算效率。
• 在不同风险与成本参数下，评估这些算法在真实世界与合成网络实例上的性能。

提出的方法

• 在标签设置算法中，利用通常的随机序关系对部分路径进行剪枝。
• 提出一种新型高效算法求解随机准时到达问题（SOTA），以提供高质量的下界。
• 算法针对惩罚延迟的风险度量（包括CVaR和P(X≥τ)）进行设计，假设弧持续时间相互独立且具有有限离散支撑。
• 该方法结合SOTA的预处理与标签算法，利用下界提前剔除不可行或次优路径。
• 风险度量应用于路径上随机弧持续时间之和，算法确保在ρ(∑Xa) ≤ ρ₀等约束下可行。
• 计算实验通过CPU时间、标签扩展次数与解的代价评估性能，其中预处理时间主导总运行时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 当目标函数涉及CVaR或尾部概率等风险度量时，如何高效求解随机最短路径问题？
• RQ2 使用SOTA导出的随机下界对路径查找算法的剪枝效率与运行时间有何影响？
• RQ3 不同风险度量参数（如CVaR中的β，P(X≥τ)中的τ）如何影响算法性能与解的质量？
• RQ4 资源约束的难度（由α控制）在多大程度上影响求解过程的可扩展性与可行性？
• RQ5 新型SOTA算法在随机下界生成方面是否能超越现有方法，在速度与解质量上表现更优？

主要发现

• 所提算法在所有测试实例上求解随机ρ-最短路径问题的时间均低于一分钟，标签阶段通常在一秒内完成。
• 预处理中使用的随机准时到达问题（SOTA）算法占总运行时间的主导部分，表明其在性能中起关键作用。
• 标签算法扩展的标签数量始终较少，表明SOTA导出的随机下界在剪枝搜索空间方面极为有效。
• 当P(X≥τ)中p=0.5时，最小化期望持续时间的路径通常也最小化尾部概率，表明此参数范围内均值风险与尾部风险存在强相关性。
• 在硬约束（小α）下，随机ρ-资源约束最短路径问题表现最佳，此时可行路径较少，剪枝更有效。
• 当α=0.02时，算法成功求解所有P(X≥τ)实例及大多数CVaRβ实例，但随着α增大，由于可行路径数量增加，求解难度上升。