[论文解读] Stochastic sigma-convergence and applications

Mamadou Sango, Jean Louis Woukeng|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 34被引用 13

一句话总结

本文提出随机Σ-收敛，这是一种新颖的多尺度框架，通过广义周期性和遍历性同伦理论，统一了确定性和随机同伦理论。该框架可同时处理随机与确定性微观结构，关键应用包括由随机Stokes方程控制的旋转流体流动的同伦化。

ABSTRACT

Motivated by the fact that in nature almost all phenomena behave randomly in some scales and deterministically in some other scales, we build up a framework suitable to tackle both deterministic and stochastic homogenization problems simultaneously, and also separately. Our approach, the stochastic sigma-convergence, can be seen either as a multiscale stochastic approach since deterministic homogenization theory can be seen as a special case of stochastic homogenization theory (see Theorem 3), or as a conjunction of the stochastic and deterministic approaches, both taken globally, but also each separately. One of the main applications of our results is the homogenization of a model of rotating fluids.

研究动机与目标

• 通过开发统一框架，弥合确定性与随机同伦理论之间的差距。
• 实现对在不同尺度上同时表现出随机与确定性行为的物理系统进行分析。
• 将现有同伦方法（如随机两尺度收敛和Σ-收敛）广义化为单一、涵盖性更强的方法。
• 为具有混合随机与确定性微观结构的偏微分方程的同伦化提供理论基础。
• 将该框架应用于复杂系统（如旋转流体），其中微观尺度上同时存在随机与确定性效应。

提出的方法

• 通过在统一的概率设定下结合随机两尺度收敛与Σ-收敛，提出一种新的收敛概念——随机Σ-收敛。
• 利用抽象概率空间上的动力系统以及具有平均值的同伦代数，建模底层微观结构的行为。
• 引入广义Besicovitch空间，以处理多尺度问题中出现的振荡函数，这些函数同时具有随机性与确定性。
• 在适当的函数空间中建立随机Σ-收敛的紧致性结果，这对于同伦问题中取极限至关重要。
• 从具有平均值的代数构造动力系统，使遍历理论结果可作为特例被恢复。
• 将该框架应用于推导依赖于随机与确定性变量的系数的系统同伦方程，如带有科里奥利型项的Stokes方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将确定性与随机同伦理论统一为单一理论框架？
• RQ2 随机Σ-收敛能否同时广义化经典Σ-收敛与随机两尺度收敛？
• RQ3 在何种条件下，具有混合随机与确定性微观结构的多尺度PDE解能收敛？
• RQ4 该框架如何应用于非线性与非周期性问题，如雷诺方程或旋转流体模型？
• RQ5 具有系数属于几乎周期、弱几乎周期或傅里叶-Stieltjes函数代数的系统，其同伦极限的结构是什么？

主要发现

• 随机Σ-收敛广义化了Σ-收敛与随机两尺度收敛，且确定性同伦为特例。
• 该框架可实现带有科里奥利型项 $ \mathbf{h}^\varepsilon \times \mathbf{u}_\varepsilon $ 的Stokes方程的同伦化，其中 $ \mathbf{h} $ 为随机变量，$ \mathbf{u}_\varepsilon $ 为速度场。
• 同伦极限满足方程 $ a(\mathbf{u}, \boldsymbol{\Phi}) + \iint_{Q \times \Omega} (\widetilde{\mathbf{h}} \times \mathbf{u}_0) \cdot \Psi_0 \, dx \, d\mu = \langle \mathbf{f}, \Psi_0 \rangle $，唯一性由科里奥利项的反对称性保证。
• 该方法适用于多种微观结构代数，包括周期性、几乎周期性、扰动几乎周期性、弱几乎周期性以及傅里叶-Stieltjes代数。
• 该理论适用于非线性雷诺方程的同伦化，以及系数属于 $ FS(\mathbb{R}^N) $（傅里叶-Stieltjes代数）的系统。
• 该框架通过将遍历性假设自然嵌入随机Σ-收敛结构中，消除了确定性同伦中对遍历性假设的需求。