[论文解读] Stone Duality for Skew Boolean Algebras with Intersections

Andrej Bauer, Karin Cvetko-Vah|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2011

Advanced Algebra and Logic参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文通过将经典Stone对偶性推广至非交换情形，建立了具有交运算的斜布尔代数的Stone对偶性，证明了具有交运算的右正则斜布尔代数范畴与布尔空间之间具有满射étale映射的对偶等价。其主要贡献在于构造了一个不具有格截面的右正则斜布尔代数，从而解决了关于此类代数是否存在这一开放性问题。

ABSTRACT

We extend Stone duality between generalized Boolean algebras and Boolean spaces, which are the zero-dimensional locally-compact Hausdorff spaces, to a non-commutative setting. We first show that the category of right-handed skew Boolean algebras with intersections is dual to the category of surjective etale maps between Boolean spaces. We then extend the duality to skew Boolean algebras with intersections, and consider several variations in which the morphisms are restricted. Finally, we use the duality to construct a right-handed skew Boolean algebra without a lattice section.

研究动机与目标

• 将Stone对偶性从交换布尔代数推广至具有交运算的非交换斜布尔代数。
• 建立右正则斜布尔代数与布尔空间之间满射étale映射的对偶等价关系。
• 通过限制所涉范畴中的态射，研究对偶性的不同变体。
• 解决右正则斜布尔代数是否存在不具有格截面的开放性问题。

提出的方法

• 作者将具有交运算的斜布尔代数定义为具有零元和相对补运算的满足交分配律的斜格。
• 他们引入斜布尔空间作为布尔空间上的étale映射，其中纤维为矩形带。
• 利用对偶性，通过在copen集上拼接相容的局部截面，从格截面构造全局截面。
• 他们应用对偶性分析格截面的存在性，表明代数中的共终可数链对应于基空间被可数个copen集覆盖。
• 他们通过使用第一个不可数序数ω₁配备区间拓扑，以及将全空间构造为区间的不相交并集，构造了一个反例。
• 通过证明在ω₁上不存在渐进的、局部常值的截面，他们证明了相应斜布尔空间中无全局截面。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在右正则斜布尔代数与具有交运算的合适拓扑空间范畴之间的对偶性？
• RQ2 该对偶性能否推广至一般的具有交运算的斜布尔代数？
• RQ3 在何种条件下，右正则斜布尔代数会具有格截面？
• RQ4 是否存在一个右正则斜布尔代数不具有格截面，如先前所提出的开放性问题？

主要发现

• 本文建立了具有交运算的右正则斜布尔代数范畴与布尔空间之间满射étale映射范畴的对偶等价关系。
• 右正则斜布尔代数具有格截面，当且仅当其具有保持0和∧的截面，这等价于自然序下的共终可数链的存在性。
• 作者通过使用第一个不可数序数ω₁作为具有无全局截面的斜布尔空间的基空间，构造了一个不具有格截面的右正则斜布尔代数。
• 通过证明在ω₁上的任何渐进的、局部常值截面都会导致矛盾（通过不动点序列），作者证明了该斜布尔空间中无全局截面。
• 该构造证实并非所有右正则斜布尔代数都具有格截面，从而以否定方式回答了该开放性问题。