[论文解读] Strange duality and the Hitchin/WZW connection

Prakash Belkale|ArXiv.org|May 4, 2007

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文通过在源端使用Hitchin和WZW联络，在目标端使用基于Galois覆叠的构造，建立了向量丛模空间上线丛全局截面空间之间奇异对偶映射的射影平坦性。关键结果是奇异对偶映射是射影平坦的，这意味着其射影单值群一致，并通过一般情形给出了所有曲线奇异对偶性的新证明。

ABSTRACT

For a compact Riemann surface X of positive genus, the space of sections of certain theta bundle on moduli of bundles of rank r and level k admits a natural map to (the dual of) a similar space of sections of rank k and level r (the strange duality isomorphism). Both sides of the isomorphism carry projective connections as X varies in a family. We prove that this map is (projectively) flat.

研究动机与目标

• 建立半稳定向量丛模空间上线丛全局截面之间的奇异对偶映射的射影平坦性。
• 通过Galois覆叠 $ SU_X(k) \times \overline{J}(X) \to U_X^*(k) $，在空间 $ H^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r) $ 上定义一个射影联络。
• 证明奇异对偶映射 $ SD: \mathcal{V}^* \to \mathcal{W} $ 是射影平坦的，从而统一几何与表示论结构。
• 证明向量丛 $ \mathcal{V} $ 和 $ \mathcal{W} $ 在曲线模堆栈上的射影单值群一致。

提出的方法

• 在 $ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ 上利用Hitchin/WZW联络，该联络已知通过共形场论具有射影平坦性。
• 通过Galois覆叠 $ SU_X(k) \times \overline{J}(X) \to U_X^*(k) $ 构造 $ H^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r) $ 上的射影联络，其覆叠群为雅可比簇中的 $ k $-挠点。
• 在一族曲线 $ \mathcal{X} \to S $ 上全局化奇异对偶映射 $ SD $，证明其在标量意义下良定义且射影平坦。
• 将典范截面 $ \theta(r,k) \in H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) \otimes H^0(SU_X(k), \mathcal{L}^r) \otimes H^0(\overline{J}(X), \mathcal{M}^{kr}) $ 视为 $ \theta(kr,1) $ 在张量积映射下的像。
• 应用射影联络理论：若一截面是射影平坦的，则其对应的对偶丛间映射亦为射影平坦。
• 利用引理 A.1 证明奇异对偶映射的秩在局部为常数，利用引理 A.2 将截面的平坦性与诱导映射的平坦性关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当曲线 $ X $ 在一族中变化时，奇异对偶映射 $ SD: H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k)^* \to H^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r) $ 是否为射影平坦？
• RQ2 能否通过Galois覆叠 $ SU_X(k) \times \overline{J}(X) \to U_X^*(k) $ 在 $ H^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r) $ 上定义一个射影联络？
• RQ3 奇异对偶映射的射影平坦性是否意味着源与目标丛的射影单值群一致？
• RQ4 当 $ m = kr $ 时，$ \theta(m,1) \in H^0(SU_X(m), \mathcal{L}) \otimes H^0(\overline{J}(X), \mathcal{M}^m) $ 的射影平坦性如何与奇异对偶映射相关？

主要发现

• 奇异对偶映射 $ SD: \mathcal{V}^* \to \mathcal{W} $ 作为基空间 $ S $ 上向量丛之间的映射是射影平坦的，其中 $ \mathcal{V} $ 和 $ \mathcal{W} $ 均携带射影联络。
• 在亏格 $ g $ 曲线的模堆栈上，$ \mathcal{V} $ 和 $ \mathcal{W} $ 的射影单值群一致。
• 映射 $ SD $ 是同构，其射影平坦性为所有曲线的奇异对偶性提供了新证明，将其约化为已知的一般曲线情形。
• 元素 $ \theta(r,k) \in H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) \otimes H^0(SU_X(k), \mathcal{L}^r) \otimes H^0(\overline{J}(X), \mathcal{M}^{kr}) $ 在 $ X $ 沿一族变化时是射影平坦的。
• $ H^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r) $ 上的射影联络通过Galois覆叠 $ SU_X(k) \times \overline{J}(X) \to U_X^*(k) $ 定义，覆叠群通过Heisenberg对称作用。
• 对所有 $ m $，$ \theta(m,1) \in H^0(SU_X(m), \mathcal{L}) \otimes H^0(\overline{J}(X), \mathcal{M}^m) $ 的平坦性已确立，这是主结果的基础。