[论文解读] Stress concentration for two nearly touching circular holes

Mikyoung Lim, Sanghyeon Yu|arXiv (Cornell University)|May 29, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 14被引用 11

一句话总结

本文提出了一种新颖的奇异渐近展开方法，用于在二维线性弹性力学中解析刻画两个几乎接触的圆形孔洞之间的应力集中现象。通过在双边坐标系中表达应力，并分析具有缓慢衰减系数的傅里叶级数，作者推导出一个显式函数，准确捕捉窄缝区域中的 $\epsilon^{-1/2}$ 应力奇异性，首次完整地实现了对孔洞情形下该现象的解析表征。

ABSTRACT

We consider the plane elasticity problem for two circular holes. When two holes are close to touching, the stress concentration happens in the narrow gap region. In this paper, we characterize the stress singularity between the two holes by an explicit function. A new method of a singular asymptotic expansion for the Fourier series with slowing decaying coefficients is developed to investigate the asymptotic behavior of the stress.

研究动机与目标

• 在二维线性弹性力学中，解析刻画两个几乎接触的圆形孔洞之间窄缝区域的应力奇异性。
• 克服先前方法的局限性，这些方法无法完全捕捉应力场的奇异行为。
• 开发一种专用于双边坐标系中Lamé系统所引出的具有缓慢衰减系数的傅里叶级数的新型渐近方法。
• 在整个孔洞外部区域，提供应力分布的完整且显式的描述，包括主导奇异分量。

提出的方法

• 应力场在双边坐标系中表达，该坐标系自然地描述了具有小间隙的两个圆形夹杂物。
• 解在角变量上展开为傅里叶级数，导致系数随谐波模态增加而缓慢衰减。
• 提出一种新的奇异渐近展开技术，用于分析当间隙 $\epsilon \to 0$ 时，具有缓慢衰减系数的傅里叶级数的渐近行为。
• 该方法涉及推导出控制间隙大小的小参数 $s \sim \epsilon$ 的系数 $v(ns,s)$ 和 $w(ns,s)$ 的渐近展开。
• 应力张量分量 $\sigma_{\zeta\theta}, \sigma_{\zeta\zeta}$ 以双曲函数和级数系数的渐近行为显式表示。
• 分析表明，应力的主导奇异贡献来自一个与 $\epsilon^{-1/2}$ 成比例的特定函数，该函数已被明确识别。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维线性弹性力学中，两个几乎接触的圆形孔洞之间的窄缝区域，应力场的精确渐近行为是什么？
• RQ2 当傅里叶级数系数缓慢衰减时，如何解析捕捉应力场的奇异行为？
• RQ3 能否实现对应力集中现象的完整解析表征，包括主导奇异分量？
• RQ4 Lamé常数在决定孔洞接近接触时应力张量的爆破速率中起什么作用？
• RQ5 所提出的方法与现有用于类似问题的渐近方法相比，有何不同并如何改进？

主要发现

• 当 $\epsilon \to 0$ 时，应力场在两个圆形孔洞之间的窄缝区域表现出 $\epsilon^{-1/2}$ 奇异性，证实并量化了数值模拟中观察到的爆破行为。
• 推导出一个显式函数，完全捕捉应力张量的奇异行为，为应力集中提供了完整的解析表征。
• 该方法通过开发一种新的奇异渐近展开技术，成功处理了具有缓慢衰减系数的傅里叶级数，这对本问题至关重要。
• 应力的主导奇异贡献来自 $\epsilon^{-1/2}$-量纲的项，该分量已通过系数函数的渐近分析明确识别并推导。
• 该方法在本质上不同于且优于以往方法（如Callias和Markenscoff，1990年代的研究），后者仅提供边界展开，无法完全表征内部应力场。
• 分析证实，对于在均匀法向载荷下的圆形孔洞，应力奇异性具有普适性，其行为独立于基体材料的Lamé常数，只要孔洞为完全刚性或类似空洞即可。