[论文解读] Stress-Energy-Momentum Tensors in Lagrangian Field Theory. Part 1. Superpotentials

G. Giachetta, G. Sardanashvily|ArXiv.org|Oct 30, 1995

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 27被引用 9

一句话总结

本文利用投影向量场的拉格朗日密度的李导数的规范分解，为拉格朗日场论中的应力-能量-动量张量构建了一个几何框架。结果表明，不同的勒帕吉等价形式及向量场的提升方式会产生不同的应力-能量-动量张量，其差异体现为超势能项；该结果对规范理论和广义相对论具有关键意义，尤其在隐含能量与规范不变性方面。

ABSTRACT

Differential conservation laws in Lagrangian field theory are usually related to symmetries of a Lagrangian density and are obtained if the Lie derivative of a Lagrangian density by a certain class of vector fields on a fiber bundle vanishes. However, only two field models meet this property in fact. In gauge theory of exact internal symmetries, the Lie derivative by vertical vector fields corresponding to gauge transformations is equal to zero. The corresponding Nöether current is reduced to a superpotential that provides invariance of the Nöether conservation law under gauge transformations. In the gravitation theory, we meet the phenomenon of "hidden energy". Only the superpotential part of energy-momentum of gravity and matter is observed when the general covariant transformations are exact. Other parts of energy-momentum display themselves if the invariance under general covariance transformations is broken, e.g., by a background world metric. In this case, the Lie derivatives of Lagrangian densities by vector fields which call into play the stress-energy-momentum tensors fail to be equal to zero in general. We base our analysis of differential conservation laws on the canonical decomposition of the Lie derivative of a Lagrangian density $L$ by a projectable vector field on a bundle and with respect to different Lepagian equivalents of $L$. Different Lepagian equivalents lead to conserved quantities which differ from each other in superpotential terms. We have different stress-energy-momentum tensors depending on different lifts of vector fields on a base onto a bundle. Moreover, different solutions of the same Euler-Lagrange equations may require different energy-momentum tensors. We show that different stress-energy-momentum tensors differ from each other in Nöether currents. As

研究动机与目标

• 通过微分几何方法，阐明拉格朗日场论中应力-能量-动量张量的几何起源。
• 通过分析其对勒帕吉等价形式与向量场提升方式的依赖性，解决定义能量-动量张量时的模糊性问题。
• 阐明超势能在规范理论与广义相对论中的作用，尤其在守恒流与隐含能量方面的关联。
• 建立一种系统化方法，从同一组欧拉-拉格朗日方程推导出不同的应力-能量-动量张量。
• 阐明规范不变性与广义协变性如何影响守恒量的结构及其超势能分量。

提出的方法

• 使用纤维丛上投影向量场沿拉格朗日密度的李导数的规范分解。
• 分析拉格朗日密度的不同勒帕吉等价形式，以推导出不同的守恒流与应力-能量-动量张量。
• 引入超势能的概念，即由不同向量场提升方式产生的不同应力-能量-动量张量之间的差异。
• 将该形式化方法应用于具有竖直向量场的规范理论，表明在规范对称性下，诺特定律电流会退化为超势能。
• 考虑广义相对论中的广义协变性，证明在精确对称性下，只有能量-动量张量的超势能部分可观测。
• 证明当通过背景度规破坏广义协变性时，能量-动量张量中会出现额外的非超势能分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉格朗日密度的不同勒帕吉等价形式如何导致不同的应力-能量-动量张量？
• RQ2 在守恒流与李导数的背景下，超势能的几何起源是什么？
• RQ3 为何广义相对论中的能量-动量张量似乎仅部分可观测？超势能如何解决此问题？
• RQ4 规范对称性与诺特定律电流退化为超势能之间有何关系？
• RQ5 在纤维丛上，向量场的不同提升方式如何影响所得应力-能量-动量张量？

主要发现

• 由同一组欧拉-拉格朗日方程导出的不同应力-能量-动量张量，其差异源于不同勒帕吉等价形式所产生的超势能项。
• 在具有精确内部对称性的规范理论中，诺特定律电流会退化为超势能，从而确保守恒定律的规范不变性。
• 在广义相对论中，仅当广义协变性精确成立时，能量-动量张量的超势能部分可观测；当对称性因背景度规而被破坏时，其他分量才会显现。
• 当广义协变性被破坏时，向量场对拉格朗日密度的李导数通常不为零，从而产生超越超势能的非平凡贡献。
• 该形式化方法表明，对于同一物理系统，可存在多个一致的应力-能量-动量张量，具体取决于向量场提升方式与勒帕吉等价形式的选择。
• 该框架解释了引力中“隐含能量”现象，其根源在于超势能结构与对称性破缺。