[论文解读] String topology for spheres

Luc Menichi, Gérald Gaudens|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 9

一句话总结

本文计算了在 $\mathbb{F}_2$ 上，对球面 $S^d$（$d \geq 1$）的自由循环空间 $\mathbb{H}_*(LS^d;\mathbb{F}_2)$ 的移位同调上的 Batalin-Vilkovisky (BV) 代数结构。结果表明，尽管 $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$ 与 $HH^*(H^*(S^2); H^*(S^2))$ 的底层 Gerstenhaber 代数同构，但它们的 BV 结构并不同构，从而反驳了一个自然的猜想。关键的技术输入是将 $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ 计算为一个 BV 代数，证明了 $\Delta(v_1) = v_1 * v_1$ 非平凡。

ABSTRACT

Let $M$ be a compact oriented $d$-dimensional smooth manifold. Chas and Sullivan have defined a structure of Batalin-Vilkovisky algebra on $\mathbb{H}_*(LM)$. Extending work of Cohen, Jones and Yan, we compute this Batalin-Vilkovisky algebra structure when $M$ is a sphere $S^d$, $d\geq 1$. In particular, we show that $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$ and the Hochschild cohomology $HH^{*}(H^*(S^2);H^*(S^2))$ are surprisingly not isomorphic as Batalin-Vilkovisky algebras, although we prove that, as expected, the underlying Gerstenhaber algebras are isomorphic. The proof requires the knowledge of the Batalin-Vilkovisky algebra $H_*(Ω^2 S^3;\mathbb{F}_2)$ that we compute in the Appendix.

研究动机与目标

• 计算球面 $S^d$（$d \geq 1$）在 $\mathbb{F}_2$ 上的自由循环空间同调 $\mathbb{H}_*(LS^d;\mathbb{F}_2)$ 上的 Batalin-Vilkovisky (BV) 代数结构。
• 检验猜想：当 $M$ 为球面时，$\mathbb{H}_*(LM)$ 与 $HH^*(H^*(M); H^*(M))$ 作为 BV 代数是否同构。
• 解决 $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$ 与 $HH^*(H^*(S^2); H^*(S^2))$ 之间的 Gerstenhaber 代数同构是否能提升为 BV 代数同构的问题。
• 计算 $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ 上的 BV 代数结构，这是主结果的关键。

提出的方法

• 利用 Chas-Sullivan 循环积和通过 Thom-Pontryagin 构造的 Gysin 映射，定义 $\mathbb{H}_*(LM)$ 上的 BV 算子 $\Delta$。
• 应用同调中的 Pontryagin 积和复合映射，将 $\Delta x = x \circ (v_1 * [1])$ 表达为 $x \in H_*(\Omega^2X;\mathbb{F}_2)$ 的形式，其中 $v_1$ 生成 $H_1(\Omega^2_0S^2;\mathbb{F}_2)$。
• 利用同伦等价 $\Omega^2\eta: \Omega^2S^3 \simeq \Omega^2_0S^2$，将 $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ 上的 BV 结构转移到 $H_*(\Omega^2_0S^2;\mathbb{F}_2)$ 上。
• 利用 Dyer-Lashof 运算和 Poisson 关系 $\{a,b\} = \Delta(ab) - \Delta(a)b - a\Delta(b)$，计算 $H_*(\Omega^2S^2;\mathbb{F}_2)$ 中的 $\Delta(v_1)$。
• 利用 $H_1(\Theta)[S^1] = v_1 * [1]$（$\Omega^2S^2$ 上的 $S^1$-作用）的事实，证明 $\Delta x = x \circ (v_1 * [1])$。
• 确立在 $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ 中有 $\Delta(u_1) = u_1 * u_1$，其中 $u_1$ 是 $H_1(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ 的生成元，从而证明 $\Delta$ 非平凡。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$ 上的 Batalin-Vilkovisky 代数结构是否与 $HH^*(H^*(S^2); H^*(S^2))$ 同构？
• RQ2 在 $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$ 与 $HH^*(H^*(S^2); H^*(S^2))$ 之间，Gerstenhaber 代数同构是否能提升为 BV 代数同构？
• RQ3 $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ 的 BV 代数结构是什么？它与 $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$ 有何关系？
• RQ4 $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ 上的 BV 算子 $\Delta$ 是否非平凡？其在生成元 $u_1$ 上的作用如何？
• RQ5 能否利用 $\Omega^2S^2$ 上的 $S^1$-作用，通过与 $v_1 * [1]$ 的复合来表达 BV 算子 $\Delta$？

主要发现

• 尽管 $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$ 与 $HH^*(H^*(S^2); H^*(S^2))$ 的 Gerstenhaber 代数同构，但作为 BV 代数，$\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$ 与 $HH^*(H^*(S^2); H^*(S^2))$ 并不同构。
• $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ 上的 BV 算子 $\Delta$ 非平凡，且对生成元 $u_1 \in H_1(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ 有 $\Delta(u_1) = u_1 * u_1$。
• $\Omega^2\eta: \Omega^2S^3 \to \Omega^2_0S^2$ 是一个同伦等价，因此 $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ 与 $H_*(\Omega^2_0S^2;\mathbb{F}_2)$ 作为 BV 代数同构。
• $H_*(\Omega^2S^2;\mathbb{F}_2)$ 上的 BV 算子满足 $\Delta x = x \circ (v_1 * [1])$，其中 $v_1$ 生成 $H_1(\Omega^2_0S^2;\mathbb{F}_2)$，$[1]$ 生成 $H_0(\Omega^2_1S^2;\mathbb{F}_2)$。
• $H_*(\Omega^2S^2;\mathbb{F}_2)$ 中的计算 $\Delta(v_1) = v_1 * v_1$ 确认了 BV 算子的非平凡性，并构成了主非同构结果的基础。
• 该结果表明，自然猜想——即当 $M = S^2$ 时，$\mathbb{H}_*(LM)$ 与 $HH^*(H^*(M); H^*(M))$ 作为 BV 代数同构——在 $\mathbb{F}_2$ 上不成立，即使它们的 Gerstenhaber 结构一致。