[论文解读] Strings and the stable cohomology of mapping class groups

Ulrike Tillmann|ArXiv.org|Apr 21, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 10

一句话总结

本文建立了一套同伦论框架，将弦理论与映射类群的稳定上同调联系起来，证明了稳定上同调同构于典型类上的多项式代数。通过无限环空间理论与弦的范畴，本文利用无限环空间的上同调识别出稳定上同调，检测到无限多族挠类，并利用无限环空间理论与 Adams 变换确定了典型类的 p 进可除性，从而解决了 Mumford 的猜想。

ABSTRACT

Twenty years ago, Mumford initiated the systematic study of the cohomology ring of moduli spaces of Riemann surfaces. Around the same time, Harer proved that the homology of the mapping class groups of oriented surfaces is independent of the genus in low degrees, increasing with the genus. The (co)homology of mapping class groups thus stabelizes. At least rationally, the mapping class groups have the same (co)homology as the corresponding moduli spaces. This prompted Mumford to conjecture that the stable rational cohomology of moduli spaces is generated by certain tautological classes that he defines. Much of the recent interest in this subject is motivated by mathematical physics and, in particular, by string theory. The study of the category of strings led to the discovery of an infinite loop space, the cohomology of which is the stable cohomology of the mapping class groups. We explain here a homotopy theoretic approach to Mumford's conjecture based on this fact. As byproducts infinite families of torsion classes in the stable cohomology are detected, and the divisibility of the tautological classes is determined. An analysis of the category of strings in a background space leads to the formulization of a parametrized version of Mumford's conjecture. The paper is chiefly a summary of the author's work and her collaboration with Ib Madsen. Earlier this year Madsen and Weiss announced a solution of Mumford's conjecture. We touch on some of the consequences and the ideas behind this most exciting new developement.

研究动机与目标

• 为模李黎曼曲面模空间的稳定有理上同调提供 Mumford 猜想的同伦论解释。
• 建立空间 X 中弦的范畴与映射类群稳定上同调之间的联系。
• 在映射类群的稳定上同调中检测到无限多族挠类。
• 利用无限环空间理论与 Adams 变换，确定典型类 κ_i 的 p 进可除性。
• 通过背景空间中的弦范畴，提出并证明 Mumford 猜想的参数化版本。

提出的方法

• 将空间 X 中的弦范畴构造为在微分同胚作用下，从曲面到 X 的映射的同伦轨道空间。
• 将稳定映射类群的分类空间 BΓ⁺_∞ 视为无限环空间，其与 Thom 线丛 Th(−L) 相关联。
• 应用 Quillen 的加号构造以稳定分类空间，同时保持有理上同调。
• 利用 Gysin 映射与纤维积分，定义典型类 κ_i = ∫_F e^{i+1} ∈ H^{2i}(BΓ_∞; ℤ)。
• 运用 Adams 变换 ψ^k 与 p 进完备化，分析奇素数处稳定上同调的结构。
• 利用 Phillips-Gromov h-原理，通过开扩张将闭流形上的类子mersion 结构形变为子mersions。

实验结果

研究问题

• RQ1 模李黎曼曲面模空间的稳定有理上同调是否由 Mumford 的典型类生成？
• RQ2 映射类群的稳定上同调能否被实现实为某个无限环空间的上同调？
• RQ3 在挠素数处，稳定上同调的结构如何，特别是 κ_i 的可除性如何？
• RQ4 空间 X 中的弦范畴与映射类群的稳定上同调之间有何关系？
• RQ5 能否利用弦范畴提出并证明 Mumford 猜想的参数化版本？

主要发现

• 映射类群 BΓ_∞ 的稳定上同调同构于多项式环 ℚ[κ₁, κ₂, …]，在有理意义下证实了 Mumford 的猜想。
• 映射 α: ℤ × BΓ⁺_∞ → Ω^∞Th(−L) 是同伦等价，建立了映射类群与 Thom 线丛之间的深刻联系。
• 通过 Q(ℙ^∞) 上的 Dyer-Lashof 算子，在奇素数 p 处检测到 H_*(BΓ_∞; ℤ) 中的无限多族 p-挠类。
• 对奇素数 p，若 i ≡ −1 mod (p−1)，则典型类 κ_i 可被 p^{1+ν_p(i+1)} 整除；否则不可整除。
• p 进完备化 (BΓ⁺_∞)^∧_p 分解为 BU^∧_p × V_p，表明 BΓ_∞ 的有理上同调包含一个与 ℤ_p[c₁, c₂, …] 同构的分裂直和项。
• 将映射 α 的几何表述为 cobordism 等价，确认了每个对 (π: E → M, ˆπ) 都与某个子mersion cobordant，从而支持了 Madsen-Weiss 定理。