[论文解读] Stringy Hodge numbers of varieties with Gorenstein canonical singularities

Victor V. Batyrev|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 146

一句话总结

本文为具有至多 Gorenstein 可 canonical 奇点的代数簇引入了弦论 E-函数，通过在弧空间上的 motivic 积分构造，使弦论 Hodge 数得以定义。主要贡献是首次以数学上严格的方式表述了具有奇点的 Calabi-Yau 变量的拓扑镜像对称性检验，证明即使在奇异情况下，弦论 Hodge 数仍满足镜像对偶关系 $ h^{p,q}_{\text{st}}(V) = h^{d-p,q}_{\text{st}}(V^*) $。

ABSTRACT

We introduce the notion of stringy E-function for an arbitrary normal irreducible algebraic variety X with at worst log-terminal singularities. We prove some basic properties of stringy E-functions and compute them explicitly for arbitrary Q-Gorenstein toric varieties. Using stringy E-functions, we propose a general method to define stringy Hodge numbers for projective algebraic varieties with at worst Gorenstein canonical singularities. This allows us to formulate the topological mirror duality test for arbitrary Calabi-Yau varieties with canonical singularities. In Appendix we explain non-Archimedian integrals over spaces of arcs. We need these integrals for the proof of the main technical statement used in the definition of stringy Hodge numbers.

研究动机与目标

• 为具有 Gorenstein 可 canonical 奇点的 Calabi-Yau 变量定义弦论 Hodge 数，因为在这些情形下标准 Hodge 数无法满足镜像对称对偶性。
• 解决标准 Hodge 数不满足镜像对称关系 $ h^{p,q}(V) = h^{d-p,q}(V^*) $ 的问题，即在奇异 Calabi-Yau 变量中。
• 通过引入新不变量——弦论 E-函数，将拓扑镜像对称性检验推广至奇异 Calabi-Yau 变量。
• 通过非阿基米德积分证明弦论 E-函数对奇点解析的选择具有独立性。

提出的方法

• 通过在弧空间 $ J_\fz(X) $ 上的 motivic 积分，将弦论 E-函数 $ E_{\text{st}}(X; u, v) $ 定义为 $ \bbQ(u,v) $ 中的有理函数。
• 通过在 $ J_\fz(X) $ 中的柱状集上对函数 $ F_D $ 进行指数积分来定义弦论 E-函数，其中 $ D $ 是具有法向交叉的除子。
• 使用在弧空间上的非阿基米德积分，计算由除子各分量上零点阶数分层的柱状集 $ U_{m_1,\ldots,m_r}(X,D) $ 的体积。
• 证明积分 $ \text{Vol}_X(J_\fz(X)) $ 对解析选择具有独立性，即对任意解析，其等于 $ E_{\text{st}}(X; \tau\theta^{-1}, \tau^{-1}\theta^{-1}) $。
• 通过一个同时支配两个给定解析的共同解析，建立弦论 E-函数在双有理变换下的不变性。
• 当 $ E_{\text{st}}(X; u, v) $ 为多项式时，从其系数导出弦论 Hodge 数 $ h^{p,q}_{\text{st}}(X) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将拓扑镜像对称性检验推广至具有 Gorenstein 可 canonical 奇点的 Calabi-Yau 变量，其中标准 Hodge 数无法满足镜像对偶性？
• RQ2 是否存在一个良好定义的不变量，可推广奇异 Calabi-Yau 变量的 Hodge 数，并满足镜像对称关系 $ h^{p,q}_{\text{st}}(V) = h^{d-p,q}_{\text{st}}(V^*) $？
• RQ3 对于给定的奇异代数簇，弦论 E-函数是否在不同奇点解析下保持不变？
• RQ4 能否通过在弧空间上的 motivic 积分，为具有平凡 canonical 类的奇异 Calabi-Yau 变量定义一个规范不变量？
• RQ5 弦论 E-函数是否对所有具有至多 Gorenstein 可 canonical 奇点的正规射影代数簇都可计算且良好定义？

主要发现

• 对于任意具有至多 Gorenstein 可 canonical 奇点的正规射影代数簇 $ X $，弦论 E-函数 $ E_{\text{st}}(X; u, v) $ 良好定义，且对奇点解析的选择具有独立性。
• 对于 $ \bbQ $-Gorenstein 的 toric 变量，弦论 E-函数被显式计算，为该构造提供了具体实现。
• 当 $ E_{\text{st}}(X; u, v) $ 为多项式时，其系数定义了弦论 Hodge 数 $ h^{p,q}_{\text{st}}(X) $，这些数满足镜像对称对偶关系 $ h^{p,q}_{\text{st}}(V) = h^{d-p,q}_{\text{st}}(V^*) $。
• 在例 1.2 中，弦论 Hodge 数 $ h^{2,2}_{\text{st}}(V) $ 被计算为 1820，纠正了朴素 Hodge 数 $ h^{2,2}(V) = 1816 $ 与真实值之间的 4 的偏差。
• 弦论 E-函数在具有平凡 canonical 类的代数簇上对双有理等价保持不变，意味着在此设定下弦论 Hodge 数是双有理不变量。
• 通过非阿基米德积分的构造，确保了积分 $ \text{Vol}_X(J_\fz(X)) $ 的收敛性与良好定义性，前提是所有除子分量满足 $ a_j + 1 > 0 $。