[論文レビュー] An introduction to motivic integration

Alastair Craw|ArXiv.org|Nov 23, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 75

ひとこと要約

この論文はモチーフ的積分の初等的導入を提供し、正則でゴレンシュタイン特異点をもつ複素射影的多様体のクレパント解消のホッジ数が解消の選び方に依存しないことを確立する。ペア $(Y,D)$ のモチーフ的積分を用いて、ホッジ数を符号化するストリング理論的 $E$-関数の公式を導出し、異なるクレパント解消におけるストリング理論的 $E$-関数の不変性を通じてコンツェビッチの結果を証明する。

ABSTRACT

By associating a `motivic integral' to every complex projective variety X with at worst canonical, Gorenstein singularities, Kontsevich proved that, when there exists a crepant resolution of singularities Y of X, the Hodge numbers of Y do not depend upon the choice of the resolution. In this article we provide an elementary introduction to the theory of motivic integration, leading to a proof of the result described above. We calculate the motivic integral of several quotient singularities and discuss these calculations in the context of the cohomological McKay correspondence.

研究の動機と目的

• 代数幾何およびミラー対称性の研究者を対象に、モチーフ的積分についてのアクセス可能な導入を提供すること。
• モチーフ的積分を用いて、クレパント解消におけるホッジ数の不変性を確立すること。
• 次元4および6のゴレンシュタイン終極的巡回商特異点におけるストリング理論的 $E$-関数を計算すること。
• モチーフ的積分を、コhomオロジカル McKay 対応およびバチェレフの一般化された McKay 対応の洗練版と結びつけること。
• 弧空間上の積分の文脈において、Lefschetz モチーフ $\mathbb{L}$ の使用を正当化するため、モチーフ的積分とチャウモチーフのグロテンディーク環への応用を示すこと。

提案手法

• 複素多様体 $Y$ 上の形式的弧の空間 $J_\infty(Y)$ を定義し、曲線のジェットをパrameter化する。
• 単純な交わりを持つ除集合 $D$ に対して、$J_\infty(Y)$ 上の関数 $F_D$ を構成する。
• グロテンディーク環の値をとる測度 $\mu$ を定義し、$\mathbb{L}$、すなわち複素直線の類を値とする。
• モチーフ的積分の使いやすい公式を導出する：$\int_{J_\infty(Y)} F_D d\mu = \sum_{J\subseteq\{1,\dots,r\}} [D_J^\circ] \cdot \left(\prod_{j\in J} \frac{\mathbb{L}-1}{\mathbb{L}^{a_j+1}-1}\right) \cdot \mathbb{L}^{-n}$。
• ストリング理論的 $E$-関数 $E_{\mathrm{st}}(X)$ を、モチーフ的積分の $E$-多項式版として定義し、特異点に対する補正項を含む。
• グロテンディーク環の完備化と、チャウモチーフのグロテンディーク環への写像を通じて、ストリング理論的モチーフ $M_{\mathrm{st}}(X)$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則でゴレンシュタイン特異点をもつ多様体のクレパント解消におけるホッジ数は、解消の選び方に依存するか？
• RQ2 モチーフ的積分をどのように用いることで、クレパント解消のホッジ数を符号化する不変量を定義できるか？
• RQ3 クレパント解消を持たない商特異点におけるストリング理論的 $E$-関数の構造はいかなるものか？
• RQ4 モチーフ的積分は、コhomオロジカル McKay 対応および $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ の有限部分群の表現論とどのように関係するか？
• RQ5 弧空間上の積分の文脈において、Lefschetz モチーフ $\mathbb{L}$ のモチーフ的解釈は何か？

主な発見

• 単純な交わりを持つ除集合 $D$ をもつペア $(Y,D)$ のモチーフ的積分は、$\sum_{J\subseteq\{1,\dots,r\}} [D_J^\circ] \cdot \left(\prod_{j\in J} \frac{\mathbb{L}-1}{\mathbb{L}^{a_j+1}-1}\right) \cdot \mathbb{L}^{-n}$ で与えられ、明確な計算ツールを提供する。
• ストリング理論的 $E$-関数 $E_{\mathrm{st}}(X)$ はクレパント解消の選び方に依存せず、ホッジ数が特異多様体 $X$ の不変量としてwell-definedであることを証明する。
• クレパント解消の場合、ストリング理論的 $E$-関数は解消の通常の $E$-多項式に還元され、異なるクレパント解消間でホッジ数が保存されることを確認する。
• 本論文は、4次元および6次元のゴレンシュタイン終極的巡回商特異点におけるストリング理論的 $E$-関数を計算し、理論を具体的な事例で示している。
• ストリング理論的モチーブ $M_{\mathrm{st}}(X)$ は $\sum_{J\subseteq\{1,\dots,r\}} M(D_J^\circ) \cdot \left(\prod_{j\in J} \frac{\mathbb{L}-1}{\mathbb{L}^{a_j+1}-1}\right)$ として定義され、$M$ はチャウモチーブのグロテンディーク環への写像である。
• この構成により、グロテンディーク環における $\mathbb{L}$ を $\mathbb{C}$ の類として使用することが正当化され、モチーフ的積分がモチーフコhomオロジーや Lefschetz モチーフと結びつく。