[论文解读] Strong convergence of a fully discrete finite element method for a class of semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative noise

Xiaobing Feng, Yukun Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对带乘性噪声的半线性随机PDE的全离散有限元方法，其中漂移项满足单边Lipschitz条件，扩散项为全局Lipschitz。通过结合非线性漂移项的有限元插值与先进的矩估计方法，作者在最小假设下建立了$ L^2 $和$ H^1 $范数下几乎最优的强收敛率。

ABSTRACT

This paper develops and analyzes a fully discrete finite element method for a class of semilinear stochastic partial differential equations (SPDEs) with multiplicative noise. The nonlinearity in the diffusion term of the SPDEs is assumed to be globally Lipschitz and the nonlinearity in the drift term is only assumed to satisfy a one-side Lipschitz condition. The semilinear SPDEs considered in this paper is a direct generalization of the SODEs considered in [13]. There are several difficulties which need to be overcome for this generalization. First, obviously the spatial discretization, which does not appear in the SODE case, adds an extra layer of difficulty. It turns out a special discretization must be designed to guarantee certain properties for the numerical scheme and its stiffness matrix. In this paper we use a finite element interpolation technique to discretize the nonlinear drift term. Second, in order to prove the strong convergence of the proposed fully discrete finite element method, stability estimates for higher order moments of the $H^1$-seminorm of the numerical solution must be established, which are difficult and delicate. A judicious combination of the properties of the drift and diffusion terms and a nontrivial technique borrowed from [16] is used in this paper to achieve the goal. Finally, stability estimates for the second and higher order moments of the $L^2$-norm of the numerical solution is also difficult to obtain due to the fact that the mass matrix may not be diagonally dominant. This is done by utilizing the interpolation theory and the higher moment estimates for the $H^1$-seminorm of the numerical solution. After overcoming these difficulties, it is proved that the proposed fully discrete finite element method is convergent in strong norms with nearly optimal rates of convergence.

研究动机与目标

• 开发一种针对一类带乘性噪声的半线性SPDE的全离散有限元方法，推广先前基于SODE的数值格式。
• 通过引入非线性漂移项的有限元插值技术，解决SPDE中空间离散化的挑战。
• 在最小假设下建立几乎最优的强收敛率：单边Lipschitz漂移与全局Lipschitz扩散。
• 克服在非对角占优质量矩阵存在下，对$ H^1 $-半范数与$ L^2 $-范数的高阶矩进行有界控制的困难。
• 通过数值实验验证理论结果，展示在不同噪声强度与非线性形式下方法的收敛性与稳定性。

提出的方法

• 采用隐式时间格式与$ H^1 $-一致的有限元进行空间离散化，构建全离散有限元格式。
• 通过有限元插值技术对非线性漂移项$ f(u) $进行离散化，以保持数值格式的稳定性和一致性。
• 利用插值理论与$ H^1 $-半范数的矩估计，推导出$ L^2 $-范数的二阶及更高阶矩的稳定性估计。
• 采用文献[16]中的非平凡技术控制$ H^1 $-半范数的矩，从而在最小正则性假设下证明强收敛性。
• 通过所选插值策略确保空间离散化产生的刚度矩阵具备适当的性质。
• 在强范数下进行收敛性分析：$ L^\frown\backepsilon L^2 $、$ \mathbb{E}L^\infty L^2 $与$ \mathbb{E}L^2H^1 $，误差估计通过能量方法与矩不等式导出。

实验结果

研究问题

• RQ1 在漂移项与扩散项的假设最小化条件下，全离散有限元方法能否实现带乘性噪声的半线性SPDE的强收敛？
• RQ2 当漂移项仅为单边Lipschitz而扩散项为全局Lipschitz时，如何设计空间离散化以保持稳定性和收敛性？
• RQ3 在存在乘性噪声的情况下，需要何种技术来控制数值解的$ H^1 $-半范数与$ L^2 $-范数的高阶矩？
• RQ4 此类SPDE在强范数下的收敛率能达到多高？其与空间和时间离散化参数的关系如何？
• RQ5 在不同噪声强度与非线性形式下（包括随机Allen-Cahn方程），该方法在数值上表现如何？

主要发现

• 所提出的全离散有限元方法在$ L^\frown\backepsilon L^2 $、$ \mathbb{E}L^\infty L^2 $与$ \mathbb{E}L^2H^1 $范数下实现了几乎最优的强收敛率。
• 数值实验验证了$ L^\frown\backepsilon L^2 $与$ \mathbb{E}L^\infty L^2 $误差的收敛阶约为2，$ \mathbb{E}L^2H^1 $误差的收敛阶为1，且与噪声强度无关。
• 在所有测试情形下，方法在$ \mathbb{E}L^2 $与$ \mathbb{E}H^1 $范数下均保持稳定，包括$ f(u) = u - u^3 $、$ f(u) = u - u^{11} $与$ g(u) = \delta u $或$ g(u) = \delta \sqrt{u^2 + 1} $的情形。
• 当噪声强度从$ \delta = 1 $增至$ \delta = 50 $时，收敛率保持一致，表明对噪声幅度具有鲁棒性。
• 理论分析证实，该方法在最小假设下（单边Lipschitz漂移与全局Lipschitz扩散）保持稳定，将先前基于SODE的结果推广至SPDE。
• 对漂移项采用有限元插值，使得必要的矩估计成为可能，并确保了在空间离散化下格式的一致性与稳定性。