[论文解读] Strong convergence of the tamed and the semi-tamed Euler schemes for stochastic differential equations with jumps under non-global Lipschitz condition

Antoine Tambue, Jean Daniel Mukam|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文提出在非全局Lipschitz条件下，针对带跳的随机微分方程的驯化与半驯化Euler格式，证明当 α ∈ [1/2, 1] 时，其强收敛阶达到标准的 1/2。该文建立了两种格式的线性和指数稳定性，表明其稳定性表现优越——尤其当 α 接近 1 时。通过数值模拟表明，半驯化格式在收敛性和稳定性方面优于驯化和补偿驯化变体。

ABSTRACT

We consider the explicit numerical approximations of stochastic differential equations (SDEs) driven by Brownian process and Poisson jump. It is well known that under non-global Lipschitz condition, Euler Explicit method fails to converge strongly to the exact solution of such SDEs without jumps, while implicit Euler method converges but requires much computational efforts. We investigate the strong convergence, the linear and nonlinear exponential stabilities of tamed Euler and semi-tamed methods for stochastic differential equation driven by Brownian process and Poisson jumps, both in compensated and non compensated forms. We prove that under non-global Lipschitz condition and superlinearly growing drift term, these schemes converge strongly with the standard one-half order. Numerical simulations to substain the theoretical results are provided.

研究动机与目标

• 解决标准Euler-Maruyama方法在非全局Lipschitz条件下对超线性漂移SDEs无法强收敛至精确解的问题。
• 将驯化与半驯化Euler格式扩展至由布朗运动和泊松跳共同驱动的SDEs，包括补偿与非补偿形式。
• 严格分析 α ∈ [0,1] 时驯化与半驯化格式的线性和指数均方稳定性，重点关注当 α 接近 1 时的稳定性改进。
• 通过数值模拟验证理论结果，比较不同格式与参数选择下的收敛性与稳定性。

提出的方法

• 在漂移项的分母中引入参数 α ∈ [1/2, 1] 的驯化参数，以控制超线性增长。
• 采用分解 f = u + v，其中 u 为全局Lipschitz，v 为非全局Lipschitz，以构造半驯化格式。
• 使用补偿泊松过程以确保跳跃分量分析中的鞅性质。
• 运用Itô公式、矩估计及Gronwall型不等式，在单边Lipschitz与多项式增长条件下证明强收敛性。
• 通过推导时间步长 Δt 与参数 α 的条件，分析线性和指数均方稳定性。
• 采用 5000–7000 条样本路径进行数值模拟，以 Δt = 2−16 的参考解验证收敛性与稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 α ∈ [1/2, 1] 时，驯化与半驯化Euler格式能否在非全局Lipschitz条件下对带跳SDEs实现阶为 1/2 的强收敛？
• RQ2 驯化与半驯化格式是否在相同条件下保持精确解的线性和指数均方稳定性？
• RQ3 与 α ∈ (0, 1/2] 相比，α ∈ [1/2, 1] 的选择如何影响格式的稳定性和收敛性行为？
• RQ4 半驯化格式在稳定性与收敛性方面是否优于驯化与补偿驯化格式？
• RQ5 当 α 接近 1 时，对驯化与补偿驯化格式的稳定性特性有何影响？

主要发现

• 在非全局Lipschitz条件与超线性漂移增长下，即使 α ∈ [1/2, 1]，驯化与半驯化Euler格式仍能实现阶为 1/2 的强收敛，扩展了以往仅限于 α ∈ (0, 1/2] 的结果。
• 在数值实验中，半驯化格式表现出优于驯化与补偿驯化格式的稳定性和收敛性能。
• 当 α 接近 1 时，驯化与补偿驯化格式的稳定性显著增强，趋近于半驯化格式的行为。
• 对于线性SDEs，半驯化格式在 Δt < 0.048（情形I）与 Δt < 0.0245（情形II）时保持线性均方稳定性，与理论预测一致。
• 在非线性SDEs中，半驯化格式在 Δt < 0.22 时重现了指数均方稳定性，与理论边界一致。
• 数值结果证实，与 α ∈ (0, 1/2] 的先前工作相比，驯化与补偿驯化格式具有更优的稳定性特性，尤其当 α → 1 时更为显著。