[论文解读] Strong instability of standing waves for nonlinear Schr\\"odinger equations with double power nonlinearity

Masahito Ohta, Takahiro Yamaguchi|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 17被引用 13

一句话总结

本文建立了非线性薛定谔方程双幂次非线性项 $ i\partial_t u = -\Delta u - a|u|^{p-1}u - b|u|^{q-1}u $ 在 $ \mathbb{R}^N $ 上驻波解的强不稳定性（有限时间爆破）。其中 $ 1 < p < 1+4/N < q < 2^*-1 $。通过尺度变换与virial恒等式，证明了当频率 $ \omega $ 足够大时，对基态 $ \phi_\omega $ 的小扰动将导致有限时间爆破，从而在原本预期稳定的临界区域中确认了强不稳定性。

ABSTRACT

We prove strong instability (instability by blowup) of standing waves for some nonlinear Schr\\"odinger equations with double power nonlinearity.

研究动机与目标

• 解决驻波解在 $ 1 < p < 1+4/N < q < 2^*-1 $ 且 $ \omega $ 较大时是否具有强不稳定性这一开放问题。
• 在双幂次非线性项情形下，建立初始数据接近基态 $ \phi_\omega $ 时的有限时间爆破。
• 将已知的单幂次非线性项下的不稳定性结果扩展至临界区域中的双幂次非线性项。
• 通过能量与Nehari泛函估计，刻画不稳定的临界条件。

提出的方法

• 定义能量泛函 $ E(v) = \frac{1}{2}\|\nabla v\|_{L^2}^2 - \frac{a}{p+1}\|v\|_{L^{p+1}}^{p+1} - \frac{b}{q+1}\|v\|_{L^{q+1}}^{q+1} $ 与Nehari泛函 $ K_\omega(v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 + \omega\|v\|_{L^2}^2 - a\|v\|_{L^{p+1}}^{p+1} - b\|v\|_{L^{q+1}}^{q+1} $。
• 使用virial恒等式 $ \frac{d^2}{dt^2}\|xu(t)\|_{L^2}^2 = 8P(u(t)) $，其中 $ P(v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 - \frac{a\alpha}{p+1}\|v\|_{L^{p+1}}^{p+1} - \frac{b\beta}{q+1}\|v\|_{L^{q+1}}^{q+1} $，且 $ \alpha = \frac{N}{2}(p-1) $，$ \beta = \frac{N}{2}(q-1) $。
• 构造一族缩放函数 $ \phi_\omega^\lambda(x) = \lambda^{N/2}\phi_\omega(\lambda x) $，并证明当 $ \lambda > 1 $ 时，有 $ \phi_\omega^\lambda \in \mathcal{B}_\omega $，即 $ K_\omega(\phi_\omega^\lambda) < 0 $ 且 $ E(\phi_\omega^\lambda) < E(\phi_\omega) $。
• 证明当 $ \lambda \in (1, \lambda_0) $ 时，有 $ P(\phi_\omega^\lambda) < 0 $，从而由virial恒等式可推出爆破。
• 利用尺度变换下 $ H^1 $-范数的连续性，证明当 $ \lambda \to 1^+ $ 时，有 $ \|\phi_\omega^\lambda - \phi_\omega\|_{H^1} \to 0 $，确保小扰动将导致爆破。
• 利用 $ E(\phi_\omega) > 0 $ 对大 $ \omega $ 成立这一事实，这对爆破论证中的能量比较至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ 1 < p < 1+4/N < q < 2^*-1 $ 且 $ \omega $ 足够大时，驻波解 $ e^{i\omega t}\phi_\omega $ 是否具有强不稳定性？
• RQ2 virial恒等式是否可用于证明双幂次非线性项情形下初始数据接近基态时的有限时间爆破？
• RQ3 在大 $ \omega $ 情形下，能量泛函在尺度变换下是否保持有下界且为负定，从而可通过virial方法实现爆破？
• RQ4 Nehari泛函 $ K_\omega $ 在刻画不稳定性临界条件中起何作用？
• RQ5 当 $ \omega \to \infty $ 时，$ \|\phi_\omega\|_{L^{p+1}}^{p+1}/\|\phi_\omega\|_{L^{q+1}}^{q+1} $ 的渐近行为如何影响不稳定性条件？

主要发现

• 当 $ 1 < p < 1+4/N < q < 2^*-1 $ 时，存在 $ \omega_1 > 0 $，使得对所有 $ \omega > \omega_1 $，驻波 $ e^{i\omega t}\phi_\omega $ 均为强不稳定。
• 对所有 $ \omega > \omega_1 $，有 $ E(\phi_\omega) > 0 $，这是爆破论证中的必要条件。
• 当 $ \lambda \in (1, \lambda_0) $ 时，缩放函数 $ \phi_\omega^\lambda $ 满足 $ K_\omega(\phi_\omega^\lambda) < 0 $ 且 $ P(\phi_\omega^\lambda) < 0 $，从而确保virial爆破。
• 初始数据为 $ u(0) = \phi_\omega^\lambda $ 的解在所有 $ \lambda \in (1, \lambda_0) $ 下均在有限时间内爆破，原因在于virial项为负。
• 由于当 $ \lambda \to 1^+ $ 时，有 $ \|\phi_\omega^\lambda - \phi_\omega\|_{H^1} \to 0 $，因此该不稳定性为强不稳定性：任意小的扰动均导致爆破。
• 证明依赖于当 $ \omega \to \infty $ 时，有 $ \|\phi_\omega\|_{L^{p+1}}^{p+1}/\|\phi_\omega\|_{L^{q+1}}^{q+1} \to 0 $ 的渐近衰减，这确保了 $ q $-非线性项在能量中的主导作用。