[论文解读] Structure at infinity for shrinking Ricci solitons

Ovidiu Munteanu, Jiaping Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 6

一句话总结

该论文证明了，若四维完备梯度收缩里奇孤立子具有有界曲率，并且在某一端趋近于一个标准圆柱面，则其在无穷远处渐近于圆柱面。在有界标量曲率条件下，此类孤立子沿势函数梯度的积分曲线，光滑渐近于 $\mathbb{R} \times \mathbb{S}^3/\Gamma$ 的商空间，或收敛于 $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{S}^2/\Gamma$。

ABSTRACT

The paper mainly concerns the structure at infinity for complete gradient shrinking Ricci solitons. It is shown that for such a soliton with bounded curvature, if the round cylinder $\mathbb{R} imes \mathbb{S}^{n-1}/Γ$ occurs as a limit for a sequence of points going to infinity along an end, then the end is asymptotic to the same round cylinder at infinity. The result is then applied to obtain structural results at infinity for four dimensional gradient shrinking Ricci solitons. It is previously known that such solitons with scalar curvature approaching zero at infinity must be smoothly asymptotic to a cone. For the case that the scalar curvature is bounded from below by a positive constant, we conclude that along each end the soliton is asymptotic to a quotient of $\mathbb{R} imes \mathbb{S}^{3}$ or converges to a quotient of $\mathbb{R}^{2} imes \mathbb{S}^{2}$ along each integral curve of the gradient vector field of the potential function.

研究动机与目标

• 理解具有有界曲率的四维完备梯度收缩里奇孤立子的渐近结构。
• 在标量曲率远离零的条件下，分类其在无穷远处可能的渐近模型。
• 确定此类孤立子是否渐近于一个标准圆柱面，或渐近于平面与球面的乘积。
• 在非负里奇曲率条件下，建立凯勒收缩孤立子的刚性结果。
• 将里奇孤立子的分类结果从三维推广至更高维，其中此类结果在三维中已知。

提出的方法

• 利用势函数 $f$ 所诱导的里奇流自相似解结构，其中 $g(t) = (-t)\phi_t^*g$。
• 应用缩放技术分析无穷远处的爆破，使用序列 $\tau_i \to 0$ 提取极限孤立子。
• 应用文献 [32] 中的定理 1.5，提取在无穷远处点附近缩放度量的光滑子列极限。
• 应用强最大值原理与曲率分裂结果，推导极限孤立子的结构。
• 利用德·拉姆分裂定理与度量的解析性，当标量曲率为常数时得出刚性结论。
• 在标量曲率 $S$ 上应用 $\Delta_f$-拉普拉斯算子，并对加权测度 $e^{-f}$ 进行积分，推导出消失恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，四维梯度收缩里奇孤立子在无穷远处渐近于标准圆柱面 $\mathbb{R} \times \mathbb{S}^{n-1}/\Gamma$？
• RQ2 当标量曲率下确界为正时，此类孤立子的可能渐近模型是什么？
• RQ3 能否对具有非负里奇曲率与有界标量曲率的凯勒收缩孤立子进行刚性分类？
• RQ4 势函数梯度流的行为如何影响其渐近几何结构？
• RQ5 当标量曲率在无穷远处趋近于常数时，会引出何种结构约束？

主要发现

• 若一个具有有界曲率的四维梯度收缩里奇孤立子在某一端渐近于 $\mathbb{R} \times \mathbb{S}^{n-1}/\Gamma$，则该端整体光滑渐近于同一圆柱面。
• 对于标量曲率下确界为正的此类孤立子，沿 $\nabla f$ 的每条积分曲线的渐近模型为 $\mathbb{R} \times \mathbb{S}^3/\Gamma$ 或 $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{S}^2/\Gamma$。
• 当标量曲率在无穷远处趋近于零时，孤立子光滑渐近于一个度量锥，此结论此前已知。
• 对于具有有界非负里奇曲率的完备非平坦四维梯度收缩凯勒里奇孤立子，其度量同构于 $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{S}^2$ 的商空间。
• 标量曲率 $S$ 在无穷远处收敛于 1，里奇曲率有一个零特征值与一个 $1/2$ 的特征值，表明其具有乘积结构。
• $\Delta_f$-拉普拉斯算子作用于 $S$ 的结果非负，且在水平集 $\Sigma(t_0)$ 上积分可得 $\Delta_f S = 0$，从而强制在紧集外有 $S \equiv 1$。