[论文解读] Structure-Preserving Learning Improves Geometry Generalization in Neural PDEs

Benjamin Shaffer, Shawn Koohy+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2026

Model Reduction and Neural Networks被引用 0

一句话总结

Geo-NeW 是一个几何条件、保持结构的隐式神经 PDE 求解器，通过学习一个包含守恒和边界条件严格执行的降维有限元模型，在未见几何形状上的泛化得到提升。

ABSTRACT

We aim to develop physics foundation models for science and engineering that provide real-time solutions to Partial Differential Equations (PDEs) which preserve structure and accuracy under adaptation to unseen geometries. To this end, we introduce General-Geometry Neural Whitney Forms (Geo-NeW): a data-driven finite element method. We jointly learn a differential operator and compatible reduced finite element spaces defined on the underlying geometry. The resulting model is solved to generate predictions, while exactly preserving physical conservation laws through Finite Element Exterior Calculus. Geometry enters the model as a discretized mesh both through a transformer-based encoding and as the basis for the learned finite element spaces. This explicitly connects the underlying geometry and imposed boundary conditions to the solution, providing a powerful inductive bias for learning neural PDEs, which we demonstrate improves generalization to unseen domains. We provide a novel parameterization of the constitutive model ensuring the existence and uniqueness of the solution. Our approach demonstrates state-of-the-art performance on several steady-state PDE benchmarks, and provides a significant improvement over conventional baselines on out-of-distribution geometries.

研究动机与目标

• 对需要物理基础的 foundation 模型在 PDE 求解中对未见几何的泛化需求进行动机说明。
• 开发一个保持守恒定律的几何条件降维有限元框架。
• 提出 General-Geometry Neural Whitney Forms (Geo-NeW)，同时学习降维 FE 空间与兼容算子。
• 通过在基于 FEEC 的离散化中引入有 Lipschitz 上界的非线性通量，确保可解性与唯一性。
• 在稳态 PDE 基准 тест和分布外泛化方面展示最先进或具竞争力的表现。

提出的方法

• 定义一个隐式算子学习问题，学习 G_theta 和 B_theta，使得 G_theta(u, alpha)=0 且 B_theta(u, alpha)=u_b。
• 将降维有限元空间 W_g^k 构造成 Whitney 形式的子空间，同时保持 exact sequence 属性以维持守恒与稳定性。
• 使用几何条件神经场 W(x,z) 将基函数映射到降维基，条件化几何上下文 z。
• 对非线性通量 F_theta(u,z) 进行 Lipschitz 控制的参数化，以保证存在性、唯一性和隐式微分的稳定性。
• 通过几何编码器 E_theta（输出用于条件化 FE 空间和算子的上下文 z 的几何特征）对网格几何进行编码，特征包括 HKS、HC、SDF、边界标签。
• 通过 PDE 约束优化隐式求解所学习的 FE 系统，并使用对偶的隐式微分进行训练。
• 为确保刚度算子的强制收敛性和可逆性，在几何上实现 Dirichlet 边界条件的强制，使得跨几何求解更加稳定。

Figure 1 : Geo-NeW provides improved generalization capability for strongly out-of-distribution geometries. Here, models trained on square domains with randomly circular obstacles, but evaluated on a domain including a variable angle step $\theta$ ; increasing $\theta$ provides a continuous measure

实验结果

研究问题

• RQ1 几何条件、保持结构的神经 PDE 框架是否可以在不重新训练的情况下泛化到未见几何？
• RQ2 如何通过降维有限元空间和学习到的算子在神经 PDE 代理中保持守恒定律和边界条件？
• RQ3 几何编码和分区-和-单元基学习对稳态 PDE 的分布外泛化有何影响？
• RQ4 如何在一个基于 FEEC 的学习式 PDE 模型中保证解的存在性、唯一性和稳定性？
• RQ5 几何信息驱动的 Geo-NeW 模型是否在标准和分布外 PDE 基准测试中优于基线？

主要发现

• Geo-NeW 在多个稳态 PDE 基准测试上达到或超过同类方法的在分布内性能。
• 与 Transolver、GNOT 等基线相比，Geo-NeW 在分布外对未见几何的泛化显著提升。
• 一个 Lipschitz 有界的非线性通量模型确保了良定义性，使隐式微分和训练更可靠。
• 使用几何条件降维 FE 空间和基于 FEEC 的结构在离散层面上精准保存守恒与边界条件。
• 具有 HKS、HC、SDF 特征的几何编码器为对 FE 空间和学习算子的条件化提供了一个离散性与姿态不变性的手段。
• 表 1 显示 Geo-NeW 在若干非标准 PDE 数据集上的误差具有竞争力或优越性，OOD 设置下尤有显著提升。

Figure 2 : Geo-NeW pipeline for geometry-generalizable PDE surrogate modeling. A geometry encoder maps mesh-derived features to a latent context $z$ that conditions both reduced finite element spaces and a nonlinear flux model. Geometry enters both through the learned encoding and explicitly as a ba