[论文解读] Structure-Preserving Model Reduction of Forced Hamiltonian Systems

Liqian Peng, Kamran Mohseni|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2016

Model Reduction and Neural Networks参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出一种基于广义辛分解（PSD）的结构保持模型降阶方法，用于强制哈密顿系统，该方法保持了原始系统的辛结构、受迫动力学及能量行为。与标准的本征正交分解（POD）不同，PSD通过变分法和投影法公式强制满足达朗贝尔原理，从而确保长期稳定性和物理一致性，数值结果表明在耗散波方程中具有更优的稳定性和精度。

ABSTRACT

This paper reports a development in the proper symplectic decomposition (PSD) for model reduction of forced Hamiltonian systems. As an analogy to the proper orthogonal decomposition (POD), PSD is designed to build a symplectic subspace to fit empirical data. Our aim is two-fold. First, to achieve computational savings for large-scale Hamiltonian systems with external forces. Second, to simultaneously preserve the symplectic structure and the forced structure of the original system. We first reformulate d'Alembert's principle in the Hamiltonian form. Corresponding to the integral and local forms of d'Alembert's principle, we propose two different structure-preserving model reduction approaches to reconstruct low-dimensional systems, based on the variational principle and on the structure-preserving projection, respectively. These two approaches are proven to yield the same reduced system. Moreover, by incorporating the vector field into the data ensemble, we provided several algorithms for energy preservation. In a special case when the external force is described by the Rayleigh dissipative function, the proposed method automatically preserves the dissipativity, boundedness, and stability of the original system. The stability, accuracy, and efficiency of the proposed method are illustrated through numerical simulations of a dissipative wave equation.

研究动机与目标

• 开发一种可保持大规模受迫哈密顿系统物理结构的模型降阶技术。
• 确保降阶模型保持辛结构、能量守恒和稳定性，而标准POD可能产生不稳定或非物理的结果。
• 通过引入雷利耗散函数，将辛模型降阶方法扩展至耗散系统，同时保持耗散性和有界性。
• 提供一种计算效率更高的POD替代方法，复杂度相同但物理保真度更优。
• 建立一个适用于满足达朗贝尔原理的所有机械系统的框架，通过典型坐标实现。

提出的方法

• 将达朗贝尔原理改写为哈密顿形式，推导出满足该原理的受迫哈密顿方程。
• 提出两种结构保持的降阶方法：一种基于变分原理，另一种基于结构保持投影，二者均得到等价的降阶系统。
• 通过广义辛分解（PSD）构建辛子空间，以拟合实测数据，类似于POD但保持辛几何结构。
• 将向量场纳入数据集合中，以在降阶模型中保持系统能量的时间导数。
• 利用雷利耗散函数自动保持降阶系统中的耗散性、有界性和李雅普诺夫稳定性。
• 将PSD方法应用于一维耗散波方程，以验证其稳定性、精度和计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 受迫哈密顿系统的模型降阶是否能保持辛结构和受迫动力学，同时确保长期稳定性？
• RQ2 在耗散系统中，PSD方法与POD相比在保持能量和稳定性方面表现如何？
• RQ3 在受迫哈密顿动力学背景下，变分原理与结构保持投影方法是否能产生等价的降阶系统？
• RQ4 当外部力通过雷利函数建模时，PSD在何种条件下能保持耗散性和有界性？
• RQ5 PSD的计算复杂度是否与POD相当，同时实现更优的物理保真度？

主要发现

• PSD方法保持了辛结构和受迫哈密顿动力学，确保降阶系统满足达朗贝尔原理，因此具有物理一致性。
• 基于变分原理和基于投影的PSD降阶方法产生完全相同的降阶系统，证实了理论一致性。
• 对于耗散波方程，PSD保持了有界性和李雅普诺夫稳定性，而POD在降阶系统中表现出不稳定性，尤其在低扩散系数下，特征值实部为正。
• 当 β = 10⁻³ 时，POD在所有测试的子空间维数 k 下均不稳定，且 Re(λ*) > 0，导致能量发散。
• 当 β = 10² 时，POD仅在 k = 10 和 k = 20 时保持稳定，而PSD在所有参数条件下均确保稳定性。
• PSD方法实现了与POD几乎相同的计算复杂度，使其适用于实时应用，同时显著优于POD在稳定性和物理准确性方面的表现。