[论文解读] SU(2)_k Logarithmic Conformal Field Theories

Alexander Nichols|ArXiv.org|Oct 8, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文研究了超出可积表示的 $SU(2)_k$ WZNW 模型，以 $SU(2)_0$ 作为对数共形场论（LCFT）的原型。它表明，离散表示的融合会产生不可约表示，从而导致对数相关函数和扩展的局域代数。其主要贡献在于显式构造了生成扩展代数的局域场，并通过量子哈密顿约化识别出 $c=-2$ 三重态模型，揭示了其与有理 $c_{p,q}$ 模型之间深刻的结构相似性。

ABSTRACT

We analyse the SU(2)_k WZNW models beyond the integrable representations and in particular the case of SU(2)_0. We find that these are good examples of logarithmic conformal field theories as indecomposable representations are naturally produced in the fusion of discrete irreducible representations. We also find extra, chiral and non-chiral, multiplet structure in the theory. The chiral fields, which we construct explicitly in SU(2)_0, generate extended algebras within the model. We also study the process of quantum hamiltonian reduction of SU(2)_0, giving the c=-2 triplet model, in both the free field approach and at the level of correlation functions. For rational level SU(2)_k this gives us a useful technique to study the h_{1,s} correlators of the c_{p,q} models and we find very similar structures to SU(2)_0. We also discuss LCFT as a limit of a sequence of ordinary CFTs and some of the subtleties that can occur.

研究动机与目标

• 研究超出可积表示的 $SU(2)_k$ WZNW 模型，特别是 $SU(2)_0$，作为对数共形场论（LCFT）的框架。
• 识别 $SU(2)_0$ 中通过离散不可约表示的融合而出现的不可约表示。
• 在 $SU(2)_0$ 中显式构造局域场，并证明其在生成扩展局域代数中的作用。
• 探索 $SU(2)_0$ 的量子哈密顿约化及其与 $c=-2$ 三重态模型和 $c_{p,q}$ 极小模型的联系。
• 研究 LCFT 作为普通 CFT 的极限，突出显示在 $c=0$ 时应力张量的对数伙伴等微妙现象。

提出的方法

• 分析 $SU(2)_0$ 的 Knizhnik-Zamolodchikov（KZ）方程，以识别有理解和对数解，包括双态场和三态场解。
• 使用自由场表示在 $SU(2)_0$ 中显式构造局域场，特别是自旋 $j=1,2,3$ 的情况，并验证其算符乘积展开（OPEs）。
• 在自由场表示和关联函数方法中均应用量子哈密顿约化，将 $SU(2)_0$ 映射到 $c=-2$ 三重态模型。
• 利用 KZ 方程的有理解推导关联函数，并识别扩展局域代数，包括 $j=1$ 时的费米子场。
• 比较 $SU(2)_0$ 与有理 $c_{p,q}$ 模型的结构，尤其关注真空零向量和费米子伙伴。
• 研究 CFT 在 $c=0$ 时的极限，以分析可分性及应力张量的对数伙伴，揭示 LCFT 中的非平凡行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $SU(2)_0$ WZNW 模型中，融合规则如何产生不可约表示，从而在 CFT 中表现出对数行为？
• RQ2 在 $SU(2)_0$ 中出现哪些扩展局域代数？它们如何通过显式局域场构造生成？
• RQ3 $SU(2)_0$ 的量子哈密顿约化如何得到 $c=-2$ 三重态模型？关联函数在此过程中的作用是什么？
• RQ4 $SU(2)_0$ 与有理 $c_{p,q}$ 模型之间存在哪些结构相似性，尤其是在关联函数结构和零向量内容方面？
• RQ5 对数 CFT 如何作为普通 CFT 的极限出现？在 $c=0$ 时会出现哪些微妙现象，例如应力张量的对数伙伴？

主要发现

• 在 $SU(2)_0$ 中，$j=1/2$ 表示的融合产生不可约表示，确认该模型为对数 CFT。
• $SU(2)_0$ 模型对自旋 $j=1,2,3$ 支持 KZ 方程的有理解，通过自由场表示显式导出关联函数。
• $SU(2)_0$ 中的局域场生成扩展代数，包括 $j=1$ 时的费米子场，其 OPE 显示出对数项。
• 对 $SU(2)_0$ 的量子哈密顿约化得到 $c=-2$ 三重态模型，其关联函数结构和零向量内容完全匹配。
• $c=-2$ 三重态模型在自由场表示和关联函数方法中均被重现，确认了不同方法间的一致性。
• 在 $c=0$ 时，理论表现出应力张量的对数伙伴，表明在普通 CFT 极限下存在非平凡行为。