[论文解读] Sub-Riemannian geodesics on the free Carnot group with the growth vector (2,3,5,8)

Yuri L. Sachkov|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文研究了具有增长向量 (2,3,5,8) 的四步自由Carnot群上的次黎曼测地线问题，构建了显式的多项式向量场模型，通过庞特里亚金最大值原理推导出哈密顿系统，并计算出10个独立的运动积分——仅有7个在对易意义下成立。对余伴随轨道上约化系统的数值分析表明存在混沌动力学，由此推测该系统在Liouville意义下是非可积的。

ABSTRACT

We consider the free nilpotent Lie algebra $L$ with 2 generators, of step 4, and the corresponding connected simply connected Lie group $G$. We study the left-invariant sub-Riemannian structure on $G$ defined by the generators of $L$ as an orthonormal frame. We compute two vector field models of $L$ by polynomial vector fields in $R^8$, and find an infinitesimal symmetry of the sub-Riemannian structure. Further, we compute explicitly the product rule in $G$, the right-invariant frame on $G$, linear on fibers Hamiltonians corresponding to the left-invariant and right-invariant frames on $G$, Casimir functions and co-adjoint orbits on $L^*$. Via Pontryagin maximum principle, we describe abnormal extremals and derive a Hamiltonian system $\dot λ= \vec{H}(λ)$, $λ\in T^*G$, for normal extremals. We compute 10 independent integrals of $\vec{H}$, of which only 7 are in involution. After reduction by 4 Casimir functions, the vertical subsystem of $\vec{H}$ on $L^*$ shows numerically a chaotic dynamics, which leads to a conjecture on non-integrability of $\vec{H}$ in the Liouville sense.

研究动机与目标

• 分析具有增长向量 (2,3,5,8) 的自由幂零李群上的次黎曼测地线问题，这是Heisenberg群和Cartan群的自然推广。
• 在 R^8 中构建该李代数的显式多项式向量场实现，包括对称与非对称模型。
• 利用庞特里亚金最大值原理推导正常极值的哈密顿系统，并识别守恒量。
• 研究正常哈密顿系统的可积性，并在通过Casimir函数约化后分析其动力学。
• 由于在约化竖直子系统中观察到混沌行为，提出系统在Liouville意义下不可积的猜想。

提出的方法

• 通过Grayson–Grossman算法与一种原创的对称构造，利用 R^8 中的多项式向量场，构建了秩为2、步数为4的自由幂零李代数的两种实现。
• 推导出 G ≅ R^8 上的群乘法规则，并计算出与由 X₁, X₂ 定义的左不变标架对偶的右不变标架。
• 在 L* 上构造左不变与右不变的哈密顿量，其在 T*G 的纤维上为线性函数，并计算Casimir函数与余伴随轨道。
• 应用庞特里亚金最大值原理刻画异常极值，并在 T*G 上推导出正常哈密顿系统 dλ/dt = H̃(λ)。
• 计算出哈密顿向量场 H̃ 的10个独立首次积分，其中仅有7个在对易意义下成立。
• 通过4个Casimir函数约化系统，并对 L* 上的竖直子系统进行数值分析，观察到混沌动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有增长向量 (2,3,5,8) 的自由Carnot群的结构如何？其在 R^8 中的多项式向量场实现方式为何？
• RQ2 该群上左不变次黎曼结构的对称性、乘法规则与哈密顿动力学为何？
• RQ3 (2,3,5,8) 问题的正常极值是否在Liouville意义下可积？10个守恒量的作用是什么？
• RQ4 在余伴随轨道上约化的哈密顿系统是否表现出混沌行为，从而暗示不可积性？
• RQ5 该问题的测地线如何通过投影与低维次黎曼问题（如Heisenberg群、Cartan群）相关联？

主要发现

• 构建了两个显式实现：秩为2、步数为4的自由幂零李代数，分别为非对称与对称形式，其中后者在保持原点不变的前提下具有一个单参数对称群。
• 显式计算了 G ≅ R^8 上的群乘法规则，并推导出与左不变标架对偶的右不变标架。
• 在余空间 L* 上构造了左不变与右不变的哈密顿量，其在 T*G 上为线性函数，并识别出4个Casimir函数。
• 通过庞特里亚金最大值原理推导出正常哈密顿系统，得到 T*G 上的哈密顿向量场 H̃。
• 计算出 H̃ 的10个独立首次积分，但仅有7个在对易意义下成立，表明系统为不完备可积。
• 通过4个Casimir函数约化后，L* 上的竖直子系统在数值上表现出混沌动力学，由此推测完整系统在Liouville意义下不可积。