[论文解读] Subdivision of categories and the homotopy category of Cat

del Hoyo, Matias Luis|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 3

一句话总结

本文提出Quillen定理的新证明，该定理建立了小范畴（Cat）与拓扑空间（Top）同伦范畴之间的等价性。通过引入范畴的细分并利用McCord关于A-空间的结果，该文通过偏序集的同伦范畴将两者同伦范畴联系起来，为经典等价性提供了新路径。

ABSTRACT

We propose an alternative proof to the well known result -- attributed to Quillen -- that asserts that the homotopy categories of Cat and Top are equivalent. In order to do that, we relate both homotopy categories with the homotopy category of partially ordered sets, by using subdivision of categories and some classical results by McCord on A-spaces.

研究动机与目标

• 提供Quillen经典结果的替代证明，即Cat与Top同伦范畴等价。
• 通过偏序集的同伦范畴建立Cat与Top同伦范畴之间的联系。
• 将范畴的细分作为关键技术工具，重新诠释小范畴的同伦理论结构。
• 应用McCord关于A-空间的经典结果，以弥合范畴同伦理论与拓扑同伦理论之间的鸿沟。

提出的方法

• 利用范畴的细分来细化小范畴的同伦结构。
• 使用单纯集的神经函子将范畴与单纯集联系起来，从而与拓扑空间关联。
• 应用McCord关于A-空间的定理，证明从范畴的分类空间出发的某些映射是同伦等价。
• 在Cat的同伦范畴与偏序集的同伦范畴之间建立弱等价的锯齿形链。
• 利用偏序集的同伦范畴与CW复形同伦范畴等价的事实，通过McCord的结果。
• 构造范畴的分类空间与其细分的分类空间之间的同伦等价，从而保持同伦类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以范畴细分作为核心技术，重新证明Cat与Top同伦范畴之间的等价性？
• RQ2 范畴的细分与偏序集及A-空间的同伦理论有何关联？
• RQ3 McCord关于A-空间的结果在范畴设定中可多大程度用于建立同伦等价？
• RQ4 是否存在从Cat的同伦范畴到Top的同伦范畴的规范路径，经由偏序集及其分类空间？
• RQ5 神经函子在连接范畴细分与拓扑同伦类型方面扮演何种角色？

主要发现

• 范畴的细分在其分类空间与细分的分类空间之间诱导出同伦等价，从而保持同伦类型。
• 通过细分构造，小范畴的同伦范畴与偏序集的同伦范畴等价。
• McCord关于A-空间的结果在证明具有合适结构的范畴的分类空间同伦等价于CW复形方面起着关键作用。
• 通过偏序集建立的弱等价锯齿形链，为Quillen关于Cat与Top等价性提供了新路径。
• 范畴的神经函子与其中细分的神经函子同伦等价，确认了细分的同伦不变性。
• 该证明表明，小范畴的同伦范畴与拓扑空间的同伦范畴等价，且不依赖于Quillen原始论证，而是以偏序集作为中间范畴。