[论文解读] Subequivalence Relations and Positive-Definite Functions

Adrian Ioana, Alexander S. Kechris+1 more|ArXiv.org|Jun 3, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用 9

一句话总结

本文引入了标准概率空间的自同构群上的子等价关系与正定函数之间的一种新联系，利用函数 $\varphi_E(S) = \mu(\{x : S(x) E x\})$ 衡量等价关系对自同构的'捕获'程度。关键贡献在于通过 $\varphi_E(\gamma)$ 的衰减特性刻画了共诱导群作用的混合性与遍历性，证明了 $\varphi_E(\gamma) \to 0$ 当 $\gamma \to \infty$ 时，等价于对所有基作用而言，共诱导作用是混合的。

ABSTRACT

We study a positive-definite function associated to a measure-preserving equivalence relation on a standard probability space and use it to measure quantitatively the proximity of subequivalence relations. This is combined with a recent co-inducing construction of Epstein to produce new kinds of mixing actions of an arbitrary infinite discrete group and it is also used to show that orbit equivalence of free, measure preserving, mixing actions of non-amenable groups is unclassifiable in a strong sense. Finally, in the case of property (T) groups we discuss connections with invariant percolation on Cayley graphs and the calculation of costs.

研究动机与目标

• 建立一个函数分析框架，将 $\mathrm{Aut}(X,\mu)$ 上的正定函数与可数、保测度的等价关系联系起来。
• 通过 $\varphi_E(\gamma)$ 的下确界分析子等价关系 $E \subseteq F$ 的接近程度，尤其关注轨道结构与代价的关系。
• 利用 $\varphi_E(\gamma)$ 的衰减行为研究共诱导群作用的遍历性与混合性。
• 在卡兹丹性质 (T) 和 HAP 条件下，推导等价关系与群作用代价的定量上界。
• 基于 $\varphi_E(\gamma)$ 的衰减特性，刻画共诱导作用何时为混合或遍历。

提出的方法

• 为 $S \in \mathrm{Aut}(X,\mu)$ 定义正定函数 $\varphi_E(S) = \mu(\{x : S(x) E x\})$，该函数衡量 $S$ 捕获等价关系 $E$ 的程度。
• 利用函数 $\varphi_E$ 分析子等价关系 $E \subseteq F$ 的结构，尤其当 $F$ 由群 $\Gamma$ 的作用诱导时。
• 应用遍历理论技术与群作用动力学，将下确界 $\varphi_E^0 = \inf_{\gamma \in \Gamma} \varphi_E(\gamma)$ 与不变集的存在性及指标 $[F|A:E|A]$ 联系起来。
• 利用 Epstein 的共诱导构造，将基作用 $a$ 的遍历性质与共诱导作用 $b = \mathrm{CInd}(a_0,b_0)^\Gamma_\Delta(a)$ 的性质联系起来。
• 证明 $\varphi_E(\gamma) \to 0$ 当 $\gamma \to \infty$ 时，等价于对所有基作用 $a$，共诱导作用是混合的。
• 利用卡兹丹性质 (T) 和 HAP 推导 $\varphi_E(\gamma)$ 与不动点集测度的估计，从而获得 $C(\Gamma)$ 的定量上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $\varphi_E(\gamma)$ 条件下，共诱导作用 $b$ 会继承基作用 $a$ 的混合性？
• RQ2 下确界 $\varphi_E^0 = \inf_{\gamma \in \Gamma} \varphi_E(\gamma)$ 如何约束子等价关系 $E \subseteq F$ 的结构？
• RQ3 $\varphi_E(\gamma)$ 的衰减与共诱导作用 $b$ 的遍历性或混合性之间有何关系？
• RQ4 能否以卡兹丹对 $(Q,\epsilon)$ 和 $\varphi_E(\gamma)$ 的行为为依据，对群 $\Gamma$ 的代价进行界定？
• RQ5 当 $\Gamma$ 不具有 HAP 时，若 $\min_{\gamma \in Q} \varphi_E(\gamma) > 1 - \epsilon$，是否意味着任何诱导 $E$ 的群 $\Delta$ 也不能具有 HAP？

主要发现

• 若 $\varphi_E^0 = \inf_{\gamma \in \Gamma} \varphi_E(\gamma) > \frac{1}{2}$，则存在一个正测度的 Borel 集 $A \subseteq X$，使得 $F|A = E|A$。
• 若 $\varphi_E^0 > \frac{3}{4}$，则存在一个 $E$-不变的 Borel 集 $A$，满足 $\mu(A) \geq 4\varphi_E^0 - 3$。
• 对任意无限群 $\Gamma$ 及其自由、混合作用 $b_0$，存在 $\mathbb{Z}$ 的一个自由、混合作用 $a_0$，使得 $\varphi_E(\gamma) \to 0$ 当 $\gamma \to \infty$。
• 当 $\Gamma$ 非平移时，可找到一个自由、混合作用 $b_0$ 与 $F_2$ 的一个自由、遍历作用 $a_0$，使得 $\varphi_E(\gamma) \to 0$ 当 $\gamma \to \infty$。
• 对具有性质 (T) 且存在卡兹丹对 $(Q,\epsilon)$ 的群 $\Gamma$，若 $Q$ 包含无限阶元素，则代价满足 $C(\Gamma) \leq n - \frac{\epsilon^2}{8}$。
• 若 $\Gamma$ 不具有 HAP，则 $\min_{\gamma \in Q} \varphi_E(\gamma) > 1 - \epsilon$ 蕴含任何诱导 $E$ 的群 $\Delta$ 也不能具有 HAP。