[论文解读] Sublinear growth of 1-cocycles and uniform convexity

Andreas Thom|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2026

Advanced Algebra and Geometry被引用 0

一句话总结

该论文证明，对于在超反射 Banach 空间上的统一有界 c0-表示的每个 1-类 cocycle 的增长相对于词长是亚线性的；在希尔伯特空间中这给出一个强混合推论。

ABSTRACT

Let G be a finitely generated group, let $π\colon G o { m GL}(E)$ be a uniformly bounded $c_0$-representation on a superreflexive Banach space $E$, and let $b \colon G o E$ be a $1$-cocycle for $π$. Then $b$ has sublinear growth with respect to the word length. As a corollary we obtain the corresponding Hilbert space statement for strongly mixing unitary representations.

研究动机与目标

• 理解 1-类 cocycle 的增长性质与仿射等距作用之间的关系的动机。
• 在超反射 Banach 空间上，为统一有界的 c0-表示的 1-类 cocycle 建立亚线性增长。
• 将增长性质与刚性现象及可辨群的缩减同调联系起来。

提出的方法

• 用等价的统一凸性范数替换 Banach 空间上的范数，并由表示保持，从而化为等距情形。
• 对矛盾假设：设 ||b(g)||/|g| 的极限上确界为正。
• 使用最大球范数和 cocycle 范数的亚加性来构造测地分解。
• 将测地线划分为长度受控的区块，以便将 cocycle 值与一个范数泛函进行比较。
• 应用费科特引理将球面上的增长率与 limsup 值联系起来。
• 通过利用 c0 条件对构造出的具有许多不同前缀的序列进行对比，从而得到矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于在超反射空间上的统一有界 c0-表示的每个 1-类 cocycle 是否具有亚线性增长？
• RQ2 在希尔伯特空间情形下，对于强混合的幺表示，关于 cocycle 增长的精确类比是什么？
• RQ3 我们是否可以将亚线性 cocycle 增长与可辨群的缩减第一同调的消失联系起来？
• RQ4 较弱的混合性概念（如弱混合）是否会强制 1-类 cocycle 的亚线性增长？

主要发现

• 对于可生成 G 的群以及在超反射 Banach 空间上的统一有界 c0-表示，任何 1-类 cocycle 在词长上都具有亚线性增长。
• 在希尔伯特空间设定下，强混合的幺表示对于 1-类 cocycle 也给出相同的亚线性增长结论。
• 弱混合并不一定意味着亚线性增长；存在沿序列具有线性增长的弱混合表示（这揭示了混合性导致亚线性的局限性）。
• 作为推论，可辨群在受控 Følner 序列下，对在超反射空间上的统一有界 c0-表示的缩减第一同调为零，即每个 1-类 cocycle 都是几乎 coboundary。
• 结果扩展并补充了已知的希尔伯特空间同调文献，并与可辨群中的几乎 coboundaries 与缩减同调相关。