[論文レビュー] Submodular approximation: sampling-based algorithms and lower bounds

Zoya Svitkina, Lisa Fleischer|arXiv (Cornell University)|May 7, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 37被引用数 71

ひとこと要約

この論文は、部分集合の重み付けのバランス調整、スパーストカット、バランスカットといったサブモジュラ最適化問題に対するサンプリングに基づくアルゴリズムを導入し、$ olimits\sqrt{n/\ln n}$ の近似保証を達成するとともに、同様の下界を証明し、これが多項式クエリ近似の本質的限界であることを確立している。また、サブモジュラ関数の全域における近似に関しては改善された下界を提供し、よりタイトな近似が可能な構造的制約を同定している。

ABSTRACT

We introduce several generalizations of classical computer science problems obtained by replacing simpler objective functions with general submodular functions. The new problems include submodular load balancing, which generalizes load balancing or minimum-makespan scheduling, submodular sparsest cut and submodular balanced cut, which generalize their respective graph cut problems, as well as submodular function minimization with a cardinality lower bound. We establish upper and lower bounds for the approximability of these problems with a polynomial number of queries to a function-value oracle. The approximation guarantees for most of our algorithms are of the order of sqrt(n/ln n). We show that this is the inherent difficulty of the problems by proving matching lower bounds. We also give an improved lower bound for the problem of approximately learning a monotone submodular function. In addition, we present an algorithm for approximately learning submodular functions with special structure, whose guarantee is close to the lower bound. Although quite restrictive, the class of functions with this structure includes the ones that are used for lower bounds both by us and in previous work. This demonstrates that if there are significantly stronger lower bounds for this problem, they rely on more general submodular functions.

研究の動機と目的

• 負荷バランス、グラフカット、ナップサックといった古典的なコンピュータサイエンス問題を一般化し、単純な目的関数の代わりに一般サブモジュラ関数を用いること。
• 関数値オракルへの多項式回数のクエリのみを用いて、これらの一般化された問題の近似可能性を検討すること。
• 多項式時間で達成可能な近似比のタイトな上界と下界を確立すること。
• 特に単調性と二部構造の下で、サブモジュラ関数を全域で近似する際の限界を調査すること。
• 一般的な$\sqrt{n/\ln n}$の壁を超えて、より良い近似保証が可能な構造的条件を同定すること。

提案手法

• 関数値オーキュラルにクエリを発行することで、$ olimits\sqrt{n/\ln n}$ のオーダーの保証を持つ近似解を構築するサンプリングベースのアルゴリズムを設計する。
• グリッド上の$K$-バイアスおよび$L$-バイアスのウォークを用いて、サブモジュラ関数の経路に沿った挙動を分析し、サブモジュラリティと凹性を活用する。
• $K$-ステップと$L$-ステップの系列を適用し、個々の関数増分の寄与をバウンドする。$K$-ステップが総増加量の定数倍を占めることが証明される。
• よりタイトなバウンドを得るために、二部構造（2P）関数構造への還元を適用し、より強い下界を得るにはより一般のサブモジュラ関数が必要であることを示す。
• $K/L$の比に基づく不等式と帰納法を用い、ウォークシーケンス内のバランスの取れたペアがサブモジュラ制約を維持することを証明する。
• $(0,0)$から$(k,l)$への経路に沿った関数値を分析し、凹性とサブモジュラリティを用いて、$F(n)$を用いて$f(k,0)$および$f(0,l)$の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数値オーキュラルへの多項式回数のクエリを用いた場合、サブモジュラ負荷バランス、スパーストカット、バランスカット問題で達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ2 基数制約付きサブモジュラ最小化において、$\sqrt{n/\ln n}$ の近似比を改善できるか？
• RQ3 一般的な$\sqrt{n/\ln n}$の壁を超える近似が可能な、サブモジュラ関数の構造的クラスは存在するか？
• RQ4 オーキュラルクエリのみを用いてサブモジュラ関数を全域で近似する際の本質的限界は何か？
• RQ5 特に単調性や二部構造の下で、サブモジュラ関数の近似に関してよりタイトな下界を確立できるか？

主な発見

• この論文は、サブモジュラ負荷バランス、サブモジュラスパーストカット、サブモジュラバランスカット問題において、$ olimits\sqrt{n/\ln n}$ がタイトな近似比であることを確立し、上界と下界が一致することを示している。
• 一般サブモジュラ関数に対しては、この$ olimits\sqrt{n/\ln n}$ の境界が本質的であることが証明されており、多項式クエリアルゴリズムではこれより良い結果は得られない。
• サブモジュラ関数の全域近似の問題に関して、本論文は新たな下界を提供し、単調関数ですら最悪ケースで$\Omega(\sqrt{n/\ln n})$ よりも良く近似できないことを示している。
• 二部構造（2P）関数では、$f(S)$ が$|S \cap R|$ と$|S \cap \bar{R}|$ のみに依存する場合、$ olimits\sqrt{n/\ln n}$ の下界に近い近似保証が達成可能であることが示されている。
• 結果から、サブモジュラ関数近似のより強い下界を得るには、2Pクラスを越えたより一般のサブモジュラ関数に依存する必要があることが示唆される。
• 解析により、$ olimits\sqrt{n/\ln n}$ の壁は、サブモジュラリティ、凹性、およびオーキュラルクエリシーケンスの構造の相互作用に起因することが明らかになった。