[論文レビュー] Submodular Function Maximization over Distributive and Integer Lattices

Corinna Gottschalk, Britta Peis|arXiv (Cornell University)|May 20, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 55被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、分配的および整数ラティス上のサブモジュラー関数の最大化に対する近似アルゴリズムを提示する。整数ラティスにおける非制約サブモジュラー最大化に対して、決定的1/3近似アルゴリズムを導入し、分配的ラティス上のDR-サブモジュラー最大化に対しては確率的1/2近似アルゴリズムを提示する。ナップサック制約付き問題に対しては、強く抑制される近似可能性の境界を確立し、妥当な複雑性仮定の下で、2^{(log(n^{1/2}-1))^δ - 1}-近似は存在しないことを示す。

ABSTRACT

The problem of maximizing non-negative submodular functions has been studied extensively in the last few years. However, most papers consider submodular set functions. Recently, several advances have been made for the more general case of submodular functions on the integer lattice. In this paper, we present a deterministic $\frac{1}{3}$-approximation for maximizing a submodular function on a bounded integer lattice $\{0, \ldots, C\}^n$ using a Double Greedy framework. Moreover, we show that the analysis is tight and that other ideas used for approximating set functions cannot easily be extended. In contrast to set functions, submodularity on the integer lattice does not imply the so-called diminishing returns property. Assuming this property, it was shown that many results for set functions can also be obtained for the integer lattice. In this paper, we consider a further generalization. Instead of the integer lattice, we consider a distributive lattice as the function domain and assume the diminishing returns (DR) property. On the one hand, we show that some approximation algorithms match the set functions setting. In particular, we can obtain a $\frac{1}{2}$-approximation for unconstrained maximization, a $(1-\frac{1}{e})$-approximation for monotone functions under a cardinality constraint and a $\frac{1}{2}$-approximation for a poset matroid constraint. On the other hand, for a knapsack constraint, the problem becomes significantly harder: even for monotone DR-submodular functions, we show that there is no $2^{(\log (n^{1/2} - 1))^δ- 1}$-approximation for every $δ> 0$ under the assumption that $3-SAT$ cannot be solved in time $2^{n^{3/4 + ε}}$.

研究の動機と目的

• 有界整数ラティス上での非制約サブモジュラー最大化に対する効率的な近似アルゴリズムの開発を目的とし、サブモジュラリティが劣化収益（DR）性質を意味しないことを前提とする。
• 集合関数から分配的ラティス上のDR-サブモジュラー関数への近似アルゴリズムの拡張を目的とし、これは集合関数と整数ラティス関数の両方を一般化する。
• 分配的ラティス上でのナップサック、基数制約、順序集合マトロイド制約の下での制約付きサブモジュラー最大化問題の複雑度を分析することを目的とする。
• ナップサック制約付きの単調DR-サブモジュラー最大化に対する強い近似不可能性結果を確立し、密度の高いk部分グラフ問題（DkSH）との関連を示すこと。
• 一般のサブモジュラー関数においてDR性質が欠如していることから、集合関数に対する既存の技術が整数ラティス設定に容易に拡張できないことの実証を目的とする。

提案手法

• Buchbinderら[6]の非制約サブモジュラー最大化の枠組みを整数ラティスに適応し、反復的グリーディー手順を用いて1/3近似を達成する。
• 分配的ラティス上のDR-サブモジュラー最大化のための確率的アルゴリズムを導入し、順序集合による分配的ラティスの理想表現を活用し、摂動に基づくサンプリングを適用する。
• ナップサック制約付きサブモジュラー最大化問題への密度の高いk部分グラフ問題（DkSH）からの還元を用いて、近似不可能性境界を証明する。
• Birkhoffの定理を用いて、分配的ラティスを順序集合の順序理想の集合として表現し、構造的ドメイン上のサブモジュラー関数の構築を可能にする。
• 劣化収益（DR）性質を鍵となる仮定として用い、集合関数設定と同様のアルゴリズム的保証（非制約問題では1/2近似、基数制約問題では(1-1/e)近似）を回復する。
• 硬さの強化チェーンを確立する：ナップサック制約付き問題に対するα-近似は、DkSHに対する2α(n′(m′+1))-近似を意味し、これは3-SAT仮定の下で近似が困難であることが知られている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数ラティス上での非制約サブモジュラー最大化に対して、決定的1/3近似が達成可能であり、その境界がタイトであるか？
• RQ2 集合関数に対する近似アルゴリズムは、分配的ラティス上のDR-サブモジュラー関数へどの程度一般化可能か？
• RQ3 分配的ラティス上でのナップサック制約付き単調DR-サブモジュラー最大化の複雑度は何か？
• RQ4 整数ラティス上での一般サブモジュラー関数においてDR性質が欠如していることは、近似アルゴリズムの設計にどのように影響するか？
• RQ5 密度の高いk部分グラフ問題（DkSH）の硬さを用いて、ナップサック制約付きサブモジュラー最大化に対する強い近似不可能性境界を確立できるか？

主な発見

• 有界整数ラティス上での非制約サブモジュラー最大化に対して、決定的1/3近似アルゴリズムを提示し、解析がタイトであることを示した。
• 分配的ラティス上のDR-サブモジュラー関数に対して、非制約最大化で確率的1/2近似が達成され、集合関数設定における最高水準の境界と一致する。
• 分配的ラティス上での基数制約付き単調DR-サブモジュラー最大化に対して(1-1/e)-近似が得られ、集合関数設定と類似した結果が得られた。
• 分配的ラティス上での順序集合マトロイド制約に対して1/2近似が達成され、集合関数設定からの結果の拡張がなされた。
• 3-SATが時間2^{n^{3/4+ε}}で解けないという仮定のもとで、単調DR-サブモジュラー最大化のナップサック制約付き問題に対しては、2^{(log(n^{1/2}-1))^δ - 1}-近似は存在しないことが示され、強い近似不可能性が確立された。
• 密度の高いk部分グラフ問題（DkSH）からナップサック制約付きサブモジュラー最大化への還元により、後者のα-近似がDkSHに対する2α(n′(m′+1))-近似を意味することを示し、近似不可能性結果が導かれた。