[论文解读] Subtractions for SCET Soft Functions

C. Bauer, Nicholas Daniel Dunn+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2011

Scheduling and Optimization Algorithms被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于相减的计算方法，用于在任意喷流算法和可观测量下，对胶子喷流事件在下一阶修正（NLO）的软函数进行计算。通过将喷流类型分类为I型（包含性算法与喷流形状测量）和II型（排他性或包含性测量方向/能量），作者表明已知的解析减法结果可被重用于数值计算此前未知的软函数，包括在强子对撞机上使用 $η$-$\phi$ 喷流算法和1喷流张力测量的情形。

ABSTRACT

We present a method to calculate the soft function in Soft-Collinear Effective Theory to NLO for N-jet events, defined with respect to arbitrarily complicated observables and algorithms, using a subtraction-based method. We show that at one loop the singularity structure of all observable/algorithm combinations can be classified as one of two types. Type I jets include jets defined with inclusive algorithms for which a jet shape is measured. Type II jets include jets found with exclusive algorithms, as well as jets for which only the direction and energy are measured. Cross sections that are inclusive over a certain region of phase space, such as the forward region at a hadron collider, are examples of Type II jets. We show that for a large class of measurements the required subtractions are already known analytically, including traditional jet shape measurements at hadron colliders. We demonstrate our method by calculating the soft functions for the case of jets defined in eta-phi space with an out-of-jet pT cut and a rapidity cut on the jets, as well as for the case of 1-jettiness.

研究动机与目标

• 解决强子对撞机物理中真实喷流算法与可观测量缺乏NLO软函数计算的问题。
• 将喷流定义分类为两类——I型（包含性算法与喷流形状测量）和II型（排他性或包含性测量方向/能量），以系统地处理其奇点结构。
• 开发一种通用的相减框架，重用现有解析结果以数值方式计算新的软函数。
• 在具有物理意义的案例中展示该方法，包括此前在NLO下无法处理的 $\eta$-$\phi$ 喷流算法和1喷流张力测量。
• 通过提供一种系统化方法计算复杂可观测量的软函数，实现喷流截面中大对数项的精确重求和。

提出的方法

• 该方法将软函数奇点分类为两类：I型适用于包含性算法与对称喷流形状可观测量（如张力）；II型适用于喷流方向与能量的排他性或包含性测量。
• 采用一种相减方案，其中软函数被分解为 $\mathcal{S} = \widetilde{\mathcal{S}} + \mathcal{D}$，$\widetilde{\mathcal{S}}$ 为已知的解析相减函数，$\mathcal{D}$ 为需通过数值方法计算的有限余项。
• 相减函数 $\widetilde{\mathcal{S}}^{(1)}$ 由 Ellis 等人（2010）的已知结果构建，结合包含性软函数 $S^{\text{incl}}_{ij}$ 与喷流特异性贡献 $S^k_{ij}$，并通过测量的狄拉克函数 $\delta(\tau_a^k)$ 编码I型喷流的可观测量。
• 对于II型喷流，该方法使用包含性喷流算法（如圆锥或 $k_T$ 算法），并利用与喷流轴的角距离，确保相减在相空间中处处有效。
• 有限余项 $\mathcal{D}^{(1)}$ 通过蒙特卡罗积分在软相空间中进行数值计算，利用 $\mathcal{D}^{(1)}$ 有限且行为良好的特性。
• 该方法通过重现三喷流构型的已知解析结果得到验证，并被应用于新情形，如 $\eta$-$\phi$ 喷流算法与1喷流张力测量，结果在数值误差范围内一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种通用的相减方法，以计算任意喷流算法与可观测量在NLO下的SCET软函数？
• RQ2 如何对软函数的奇点结构进行分类，以实现在SCET中系统化的相减？
• RQ3 在数值计算新软函数时，能在多大程度上重用已有的软函数解析结果？
• RQ4 该方法能否准确重现复杂喷流构型（如具有能量截断的三等距喷流）的已知结果？
• RQ5 该方法能否应用于强子对撞机上具有物理意义的喷流定义，如 $\eta$-$\phi$ 算法与1喷流张力？

主要发现

• 本文成功地将所有NLO软函数奇点分类为两类：I型（包含性算法与对称喷流形状）和II型（排他性或包含性测量方向/能量）。
• 对于I型喷流，该方法要求喷流形状可观测量关于喷流轴对称，并在紫外区域表现如 $a<1$ 的角量。
• 相减函数 $\widetilde{\mathcal{S}}^{(1)}$ 通过重用 Ellis 等人（2010）的已知解析结果构建，从而实现对此前未知软函数的数值计算。
• 该方法在数值误差范围内重现了三等距喷流构型的已知解析结果，参数为 $R=0.4$，能量 125 GeV，喷流外能量截断 $\Lambda=50$ GeV。
• 对具有 $p_T$ 截断与快度约束的 $\eta$-$\phi$ 喷流算法，软函数被数值计算，结果显示出对喷流半径 $R$ 与喷流相对于束流角度的依赖性。
• 该方法被扩展至1喷流张力情形，仅使用I型喷流，所得到的软函数作为测量喷流角度的函数被计算，展示了其广泛适用性。