[论文解读] Sufficient conditions for $C^{1,\alpha}$ parametrization and rectifiability

Silvia Ghinassi|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用 7

一句话总结

本论文通过一种Bishop-Jones型平方函数，建立了R^n中Radon测度为C^1,α d-可求积的定量充分条件，对C^1,α常数提供了明确的控制。关键结果表明，若β-数的平方函数为有限值，则该集合可进行C^1,α参数化，将David与Toro的Reifenberg参数化理论推广至Hölder可微情形，并实现了对平方函数范数的精确定量依赖关系。

ABSTRACT

We say a measure is $C^{1,\alpha}$ $d$-rectifiable if there is a countable union of $C^{1,\alpha}$ $d$-surfaces whose complement has measure zero. We provide sufficient conditions for a Radon measure in $\mathbb{R}^n$ to be $C^{1,\alpha}$ $d$-rectifiable, with $\alpha \in (0,1]$. The conditions involve a Bishop-Jones type square function and all statements are quantitative in that the $C^{1,\alpha}$ constants depend on such a function. Along the way we also give sufficient conditions for $C^{1,\alpha}$ parametrizations for Reifenberg flat sets in terms of the same square function. Key tools for the proof come from David and Toro's Reifenberg parametrizations of sets with holes in the H\"{o}lder and Lipschitz categories.

研究动机与目标

• 为R^n中的Radon测度成为C^1,α d-可求积提供定量充分条件。
• 将David与Toro的Reifenberg参数化结果推广至C^1,α情形，并明确依赖于β-数的平方函数。
• 证明β-数的平方可和性可保证单侧Reifenberg平坦集合的C^1,α参数化。
• 以β-数的平方函数为基准，量化C^1,α正则性常数。
• 通过显式反例证明C^1,α可求积性严格强于C^1,α'可求积性（当α' > α时）。

提出的方法

• 使用涉及L^p β-数的Bishop-Jones型平方函数，量化集合在所有尺度下的平坦性。
• 通过局部C^1,α图像的迭代拼接，将David与Toro的Reifenberg参数化框架适配至C^1,α类别。
• 通过积分由dyadic Haar型小波与单位分解构造的Hölder连续函数，构建C^1,α函数。
• 利用β-数的衰减速率与dyadic频率分解，估计所构造参数化的Hölder范数与Lipschitz范数。
• 采用频率分解（高频、中频、低频）分析导数的Hölder正则性，表明当平方函数发散时，更高阶Hölder正则性将不成立。
• 应用改进的单位分解与逼近算子(Et)，表示Hölder函数，并在L^∞与Lipschitz范数下控制逼近误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 在β-数的何种定量条件下，单侧Reifenberg平坦集合可实现C^1,α参数化？
• RQ2 C^1,α正则性常数如何依赖于β-数的平方函数？
• RQ3 β-数的平方可和性能否保证参数化的C^1,α正则性？若能，其定量控制如何？
• RQ4 C^1,α可求积性是否严格强于C^1,α'可求积性（当α' > α时）？能否通过显式构造加以证明？
• RQ5 单侧Reifenberg平坦性定义中的相容性条件在实现C^1,α参数化中起何作用？

主要发现

• 若β-数的平方函数为有限值，则单侧Reifenberg平坦集合可实现C^1,α参数化，且C^1,α常数定量依赖于平方函数范数。
• 参数化的C^1,α正则性是精确的：若平方函数发散，则参数化无法为C^1,α+ε（对任意ε > 0）。
• 本文显式构造了一个C^1,α函数，其导数不属于C^α+ε，证明C^1,α条件严格强于C^1,α'（当α' > α时）。
• 导数的Hölder常数受∑ α_j^2 2^{-2α'j}控制，该级数收敛当且仅当平方函数为有限值。
• 逼近算子Et(G)满足||G - Et(G)||_∞ ≤ CKt^α，且Et(G)为CKt^{α-1}-Lipschitz，从而提供了Hölder函数的定量表示。
• 该方法表明，参数化的C^1,α正则性由β-数的衰减速率决定，平方函数作为精确的定量判据。