[论文解读] Sum list coloring, the sum choice number, and sc-greedy graphs

Michelle Anne Lastrina, Michael E. Young|arXiv (Cornell University)|May 8, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文确定了所有五顶点图的和选择数，并证明了路径与环——更一般地，环的树——是sc-贪婪的，即其和选择数等于贪婪上界 |V| + |E|。作者通过基于顶点列表大小的归纳法分析以及环连通图的结构分解，建立了图实现该上界的普遍条件。

ABSTRACT

Let G=(V,E) be a graph and let f be a function that assigns list sizes to the vertices of G. It is said that G is f-choosable if for every assignment of lists of colors to the vertices of G for which the list sizes agree with f, there exists a proper coloring of G from the lists. The sum choice number is the minimum of the sum of list sizes for f over all choosable functions f for G. The sum choice number of a graph is always at most the sum |V|+|E|. When the sum choice number of G is equal to this upper bound, G is said to be sc-greedy. In this paper, we determine the sum choice number of all graphs on five vertices, show that trees of cycles are sc-greedy, and present some new general results about sum list coloring.

研究动机与目标

• 计算所有五顶点图的和选择数，为小图提供完整的分类。
• 研究图在何时实现和选择数等于贪婪界 |V| + |E| 的条件，即成为sc-贪婪图。
• 将sc-贪婪图的特征化从简单结构扩展至更复杂的环基图，如环的路径与树。
• 发展并应用归纳技术，通过列表大小约束与着色障碍，证明复杂环连通图的sc-贪婪性。

提出的方法

• 将和选择数 χ_SC(G) 定义为所有允许正常列表着色的顶点列表分配中，列表大小之和的最小值。
• 将贪婪界 GB(G) = |V| + |E| 作为 χ_SC(G) 的上界，该界源自一种顶点排序，可确保在指定大小的列表下实现正常着色。
• 通过反证法证明sc-贪婪性：构造不可着色的列表分配，表明任何大小函数 f 满足 size(GB(G) - 1) 均无法成为选择函数。
• 对环的路径中的环数进行归纳，基于共享顶点处的列表大小之和（t_i, b_i）分析不同情形。
• 通过为共享顶点分配不相交的颜色集合，并减少相邻顶点的列表大小，构造出在贪婪界略低于时不可着色的显式列表分配 L。
• 通过利用弱对偶树结构并将情形分析推广至任意环交点，将结果推广至环的树。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有五顶点图的和选择数是多少？
• RQ2 所有环的路径是否都是sc-贪婪的，即是否对所有此类图都有 χ_SC(G) = |V| + |E|？
• RQ3 sc-贪婪性是否可扩展至更复杂的环基图，如环的树？
• RQ4 何种结构条件可确保图实现和选择数等于贪婪界？
• RQ5 sc-贪婪性在sc-贪婪图的边连接下是否保持不变？

主要发现

• 已显式计算出所有五顶点图的和选择数，完成了对所有此类图的完整分类。
• 证明了环的路径是sc-贪婪的，即对所有此类图均有 χ_SC(G) = |V| + |E|。
• 证明了环的树是sc-贪婪的，将结果推广至更广泛的环连通图类别。
• 证明依赖于对共享顶点处列表大小之和（t_i, b_i）的分情形分析，表明任何低于贪婪界的大小函数均导致不可着色的列表分配。
• 关键构造在于为共享顶点分配不相交的颜色集合，并减少相邻顶点的列表大小，以制造着色障碍。
• 结果表明，对于环的树，和选择数恰好为 |V| + |E|，且仅当列表大小函数达到贪婪界时等式成立。