[论文解读] Sum of squares of degrees in a graph

Bernardo M. Ábrego, Silvia Fernández‐Merchant+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2008

Graph theory and applications参考文献 17被引用 27

一句话总结

本文解决了在具有 v 个顶点和 e 条边的简单图中确定最大度平方和的长期悬而未决问题。它确定了准星图或准完全图中哪一个能实现最大值，利用佩尔方程给出了两者均为最优的确切条件，并对每组 (v,e) 对，刻画了所有达到最大值的图。

ABSTRACT

Let $\G(v,e)$ be the set of all simple graphs with $v$ vertices and $e$ edges and let $P_2(G)=\sum d_i^2$ denote the sum of the squares of the degrees, $d_1, >..., d_v$, of the vertices of $G$. It is known that the maximum value of $P_2(G)$ for $G \in \G(v,e)$ occurs at one or both of two special graphs in $\G(v,e)$--the \qs graph or the \qc graph. For each pair $(v,e)$, we determine which of these two graphs has the larger value of $P_2(G)$. We also determine all pairs $(v,e)$ for which the values of $P_2(G)$ are the same for the \qs and the \qc graph. In addition to the \qs and \qc graphs, we find all other graphs in $\G(v,e)$ for which the maximum value of $P_2(G)$ is attained. Density questions posed by previous authors are examined.

研究动机与目标

• 解决关于在具有 v 个顶点和 e 条边的简单图中度平方和 P₂(G) 的最大值这一开放问题。
• 对每组 (v,e)，确定是准星图还是准完全图实现了最大 P₂(G)。
• 刻画 G(v,e) 中所有达到最大 P₂(G) 的图，而不仅限于两种特殊图。
• 分析密度问题，并识别出准星图和准完全图均产生相等最大 P₂(G) 的所有 (v,e) 对。

提出的方法

• 定义 P₂(G) = Σdᵢ² 为图 G ∈ G(v,e) 中顶点度数平方和。
• 引入两种极值图：准完全图 QC(v,e) 和准星图 QS(v,e)，它们是最大化 P₂(G) 的候选图。
• 利用互补关系：QS(v,e) 是 QC(v,e′) 的补图，其中 e′ = C(v,2) − e，从而关联 S(v,e) 和 C(v,e)。
• 基于整数参数 k 和 j（其中 e = C(k+1,2) − j，1 ≤ j ≤ k）推导出 C(v,e) 和 S(v,e) 的闭式表达式。
• 应用数论技术，特别是佩尔方程的解，以确定 C(v,e) 和 S(v,e) 之间相等与主导的确切条件。
• 使用临界值 m(v) = ½C(v,2) 和满足 C(k₀,2) ≤ m < C(k₀+1,2) 的 k₀(v)，将分析划分为围绕边数中点的对称区间。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的 (v,e)，是准星图还是准完全图产生更大的度平方和？
• RQ2 在哪些 (v,e) 对中，准星图和准完全图的度平方和相等？
• RQ3 G(v,e) 中所有实现 P₂(G) 最大值的图是什么？
• RQ4 在何种条件下，最大 P₂(G) 同时在准星图和准完全图中实现？
• RQ5 佩尔方程的解如何刻画最优 (v,e) 对的密度和分布？

主要发现

• 对于 G ∈ G(v,e)，P₂(G) 的最大值总是由准完全图 QC(v,e) 或准星图 QS(v,e) 或两者同时实现。
• 当 e < m − v/2 时，准星图 QS(v,e) 实现最大值；当 e > m + v/2 时，准完全图 QC(v,e) 实现最大值。
• 当 2b₀ ≥ k₀ 成立时，其中 b₀ = m − C(k₀,2)，准星图在 e ≤ m 时占优，准完全图在 e ≥ m 时占优，且仅在 e = m 时相等。
• 存在无穷多组 (v,e) 对，使得 QC(v,e) 和 QS(v,e) 均产生相同的最大 P₂(G)，其特征由佩尔方程 V² − 2J² = −1 的解给出。
• 佩尔方程的具体解产生无穷多组 (v,k,e)，使得恰好存在 3 或 4 个最优度序列，例如 (v,k,e) = (22,15,105)、(121,85,3570)，以及 (12,25,52,69) 对应 4 个最优划分。
• 所有相关佩尔方程的解均满足必要条件 k = k₀(v)，从而确保所导出的图在 G(v,e) 中确实是极值图。