[论文解读] Sumset size races for measurable sets

Melvyn B. Nathanson|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2026

Limits and Structures in Graph Theory被引用 0

一句话总结

论文证明可测集在局部紧阿贝尔群中的和集大小竞赛结果的连续模拟，证明存在可测族A1,...,An，在多种h值下具有规定的h折和集测度相对顺序，并能够控制相邻测度差。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact abelian group with Haar measure $μ$. For integers $n \geq 2$ and $H \geq 2$ and for any $n$-tuples $\mathbf{u}_1,\ldots, \mathbf{u}_H \in \mathbf{N}^n$, there exist measurable subsets $A_1,\ldots, A_n$ of $G$ such that the $n$-tuple $\left( μ(hA_1),\ldots, μ(hA_n) ight)$ has the same relative order as the $n$-tuple $\mathbf{u}_h$ for all $h = 1,\ldots, H$. For integers $m_{i,h}$ for $i =1,\ldots, n-1$ and $h = 1,\ldots, H$, there are Lebesgue measurable sets $A_1,\ldots, A_n$ in $\mathbf{R}$ such that $μ(hA_{i+1}) - μ(hA_i) = m_{i,h}$ for all $i$ and $h$.

研究动机与目标

• 在连续情境下激发和集大小竞赛的灵感，并将离散结果扩展到海尔测度情境。
• 证明对于任意给定的若干迭代中和集大小的相对顺序，存在相应的可测集合。
• 表明可以在实数及类似群体中实现可预设的相邻和集测度差。

提出的方法

• 以Kravitz的有限集结果为骨架，在具有无限阶元的群中构建可测的模拟。
• 构建开邻域及互不相交的平移，以确保和集合的等权重，得到所需的µ(hAi)值。
• 通过仔细的放置与放缩论证，将离散的整数大小模式转化为Lebesgue测度模式。
• 应用放缩论证将局部构造推广到任意正的尺度θ/δ。
• 求解线性对角整方程组，使µ(hAi)之间的差与给定的m{i,h}值对齐，从而实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能在非扭转的局部紧阿贝尔群中，通过Lebesgue可测集合实现n元组µ(hAi)相对顺序的规定？
• RQ2 是否能在有限范围内对所有h实现µ(hAi) − µ(hAi+1)的规定连续差？
• RQ3 如何利用海尔测度将离散的和集大小竞赛结果扩展到连续情境？
• RQ4 需要哪些代数工具（如对齐Diophantine解）来同步多尺度约束？

主要发现

• 存在在G中的Lebesgue可测集合A1,...,An（非扭转、局部紧阿贝尔群），使得归一化的元组τ(µ(hA1),...,µ(hAn))对任意给定的τ(u1,...,uH)在h=1,...,H时成立。
• 存在在R中的Lebesgue可测集合A1,...,An，使得所有i与h的µ(hAi+1)−µ(hAi)等于给定整数m{i,h}。
• 证明简化为通过开邻域与互不相交的平移将有限集构造转移到连续情境，并保持和集合测度关系。
• 使用线性Diophantine框架，保证存在非负整数参数实现所需的和集-差约束，从而实现最终θ尺度的放缩。
• 结果提供了Fox–Kravitz–Zhang型定理的连续类比，将和集大小竞赛现象从有限集合扩展到具海尔测度的可测集合。
• 这些构造在连续情境下回答了提出的问题2，展示了在多尺度下塑造和集大小行为的广泛灵活性。