[论文解读] Sup norms of Maass forms on semisimple groups

Simon Marshall|arXiv (Cornell University)|May 27, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 13

一句话总结

本文通过利用谱理论和表示论技巧，对一类广泛的半单群（包括分裂经典群和复群）上的自守形式的Hecke-Maass形式的上范数，建立了对局部L2-界的一种幂次改进。关键贡献在于获得了上范数的定量次凸界，推进了对高秩群上自守形式的理解。

ABSTRACT

We prove a power saving over the local bound for the sup norm of a Hecke-Maass form on a class of groups that includes split classical groups and complex groups.

研究动机与目标

• 改进高秩半单群上Hecke-Maass形式的上范数的局部界。
• 在非紧致、半单李群上的自守形式背景下，建立幂次改进的次凸估计。
• 将已知的秩一情形结果推广至高秩情形，特别是针对分裂经典群和复群。
• 发展一个适用于广泛半单群类的通用框架，超越经典秩一情形。

提出的方法

• 利用半单群上自守形式的谱理论，分析Hecke-Maass形式的L∞-范数。
• 应用表示论技巧，特别是将自守表示分解为不可约分量。
• 在群表示的背景下，运用驻相法和振荡积分估计。
• 利用非紧致群的球面主系的结构以及Plancherel测度。
• 通过控制Whittaker函数和矩阵系数的界，来控制上范数的增长。
• 利用Eisenstein级数及其谱分解理论，分离出Maass形式的贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高秩半单群上，Hecke-Maass形式的上范数的局部界能否通过幂次改进？
• RQ2 在高秩情形下，实现次凸界所需的谱论和表示论工具是什么？
• RQ3 在秩一群中使用的方法在分裂经典群和复群中能在多大程度上推广？
• RQ4 自守形式的矩阵系数和Whittaker函数在上范数行为中起什么作用？

主要发现

• 在包括分裂经典群和复群在内的半单群类上，Hecke-Maass形式的上范数实现了对局部界的幂次改进。
• 该界在谱方面是次凸的，代表了对已知局部界的定量强化。
• 该结果在指定群类中具有一致性，表明该方法具有广泛的适用性。
• 该分析依赖于Plancherel测度以及算术格Γ的L2(Γ\G)谱分解的深层性质。